ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Второе уравнение $y=ax-14$ задаёт пучок прямых, проходящих через точку $C(0;-14)$: при изменении $a$ прямая поворачивается вокруг этой точки. Вертикальная прямая $x=0$ в пучок не входит.

В первом уравнении параметра нет, поэтому множество его решений можно нарисовать один раз. Сначала запишем область определения корня:

$$y-2x+16⩾0\iff y⩾2x-16.$$

Это полуплоскость над прямой ${\ell }_0:y=2x-16$ вместе с самой прямой (точка $(0;0)$ ей принадлежит: $0⩾-16$).

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}xy-2x+16=0,\\ y=2x-16,\end{array}\\ y⩾2x-16.\end{array}$$

Второй множитель даёт всю прямую ${\ell }_0$: её точки удовлетворяют ограничению.

Первый множитель: $xy=2x-16$. При $x=0$ получаем неверное равенство $0=-16$, поэтому $x\ne 0$, и

$$y=2-\frac{16}{x}.$$

Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$. Выясним, какая её часть лежит в полуплоскости $y⩾2x-16$:

$$2-\frac{16}{x}⩾2x-16\iff \frac{18x-16-2x^2}{x}⩾0\iff \frac{(x-1)(x-8)}{x}⩽0.$$

Получаем $x<0$ или $1⩽x⩽8$. Значит, от гиперболы остаются вся левая ветвь ($x<0$) и дуга правой ветви при $1⩽x⩽8$. Концы дуги — точки пересечения гиперболы с прямой ${\ell }_0$. Действительно, из $2-\frac{16}{x}=2x-16$ получаем $2x^2-18x+16=0$, $x^2-9x+8=0$, $x=1$ или $x=8$. Это точки $M(1;-14)$ и $N(8;0)$.

Итак, множество решений первого уравнения — прямая ${\ell }_0$, левая ветвь гиперболы и дуга $MN$ правой ветви.

Посчитаем общие точки прямой $y=ax-14$ с каждой частью множества.

Прямая ${\ell }_0$. Из $ax-14=2x-16$ получаем $(a-2)x=-2$. При $a\ne 2$ общая точка одна: $x=\frac{2}{2-a}$. При $a=2$ прямые параллельны, общих точек нет.

Левая ветвь. При $x<0$ гипербола лежит выше прямой $y=2$, так как $-\frac{16}{x}>0$. Если $a⩾0$, то при $x<0$ прямая пучка лежит не выше $y=-14$, и общих точек нет. Если $a<0$, рассмотрим разность $d(x)=\left(2-\frac{16}{x}\right)-(ax-14)=16-\frac{16}{x}-ax$ при $x<0$. Оба слагаемых $-\frac{16}{x}$ и $-ax$ возрастают, значит, $d$ возрастает. При $x\to -\infty$ имеем $d\to -\infty$, при $x\to 0^{-}$ имеем $d\to +\infty$. Поэтому общая точка ровно одна.

Дуга $MN$. Из $ax-14=2-\frac{16}{x}$ при $x\ne 0$ получаем $a{x}^2-16x+16=0$, то есть

$$a=\frac{16(x-1)}{x^2},1⩽x⩽8.$$

Сделаем замену $t=\frac{1}{x}$, $t\in \left[\frac{1}{8};1\right]$. Тогда $a=16(t-t^2)=16t(1-t)$ — парабола по $t$ с вершиной при $t=\frac{1}{2}$ (то есть $x=2$) и наибольшим значением $4$. При $x$ от $1$ до $2$ ($t$ от $1$ до $\frac{1}{2}$) значение растёт от $0$ до $4$. При $x$ от $2$ до $8$ ($t$ от $\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{8}$) значение убывает от $4$ до $16\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{4}$. Отсюда число общих точек с дугой:

при $a<0$ — ни одной;

при $a=0$ — одна, точка $M$;

при $0<a<\frac{7}{4}$ — одна (на участке $1<x<2$);

при $\frac{7}{4}⩽a<4$ — две (по одной на участках $1<x<2$ и $2<x⩽8$);

при $a=4$ — одна, точка касания $T(2;-6)$;

при $a>4$ — ни одной.

Совпадающие точки. Точка прямой ${\ell }_0$ может оказаться и на гиперболе, только если это $M$ или $N$. Прямая пучка проходит через $M(1;-14)$ при $a=0$ и через $N(8;0)$ при $a=\frac{7}{4}$ (из $0=8a-14$). Тогда одна и та же точка посчитана дважды.

Отметим граничные положения прямой (пунктир), как в образце: I — вертикальное, оно не достигается ($a\to \pm \infty$); II — горизонтальная прямая через $M$, $a=0$; III — прямая через $N$, $a=\frac{7}{4}$; IV — прямая, параллельная ${\ell }_0$, $a=2$; V — касательная к дуге, $a=4$. Тонкой линией показано положение $a=-3$, при котором прямая пересекает левую ветвь и прямую ${\ell }_0$.

Сложим количества точек.

При $a<0$: одна точка на ${\ell }_0$, одна на левой ветви, на дуге ни одной — два решения.

При $a=0$: точка прямой ${\ell }_0$ — это $x=\frac{2}{2}=1$, то есть $M$, и на дуге тоже только $M$ — одно решение.

При $0<a<\frac{7}{4}$: одна точка на ${\ell }_0$ и одна на дуге — два решения.

При $a=\frac{7}{4}$: точка прямой ${\ell }_0$ — это $x=\frac{2}{1/4}=8$, то есть $N$; на дуге — точка $N$ и ещё одна точка с $1<x<2$ — два решения.

При $\frac{7}{4}<a<2$: одна точка на ${\ell }_0$ и две на дуге — три решения.

При $a=2$: на ${\ell }_0$ точек нет, на дуге две (корни уравнения $x^2-8x+8=0$, $x=4\pm 2\sqrt{2}$) — два решения.

При $2<a<4$: одна точка на ${\ell }_0$ и две на дуге — три решения.

При $a=4$: точка $(-1;-18)$ на ${\ell }_0$ и точка касания $T(2;-6)$ — два решения.

При $a>4$: только точка на ${\ell }_0$ — одно решение.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \left(0;\frac{7}{4}\right]\cup \{2;4\}$.