ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f}=g$ равносильно системе $f=g^2$, $g⩾0$. Корень всегда неотрицателен, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной, а при $g⩾0$ равенство $\sqrt{f}=g$ равносильно $f=g^2$. Условие $f⩾0$ отдельно писать не нужно: оно следует из $f=g^2$.

Раскроем скобки под корнем:

$$4x^4+3x^2(6x+5)-a(2x^2-a)=4x^4+18x^3+15x^2-2a{x}^2+a^2.$$

Возведём в квадрат правую часть:

$$(2x^2+5x-a{)}^2=4x^4+25x^2+a^2+20x^3-4a{x}^2-10ax.$$

Уравнение $f=g^2$ принимает вид

$$4x^4+18x^3+15x^2-2a{x}^2+a^2=4x^4+20x^3+25x^2-4a{x}^2-10ax+a^2.$$

Перенесём всё в правую часть, приведём подобные и разделим на $2$:

$$2x^3+10x^2-2a{x}^2-10ax=0;x^3+5x^2-a{x}^2-5ax=0.$$

Вынесем $x$ и сгруппируем слагаемые в скобке:

$$x(x(x+5)-a(x+5))=0;x(x+5)(x-a)=0.$$

Значит, исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}x(x+5)(x-a)=0,\\ 2x^2+5x-a⩾0.\end{array}$$

Корнями могут быть только числа $x_1=0$, $x_2=-5$, $x_3=a$. Кандидатов всего три, поэтому три различных корня будут ровно тогда, когда все три числа различны и каждое удовлетворяет неравенству системы. Проверим каждое.

При $x=0$: $-a⩾0$, то есть $a⩽0$.

При $x=-5$: $2\cdot 25-25-a⩾0$, то есть $a⩽25$.

При $x=a$: $2a^2+5a-a⩾0$, то есть $2a(a+2)⩾0$. Методом интервалов:

получаем $a⩽-2$ или $a⩾0$.

Числа должны быть различны. Всегда $0\ne -5$, а ещё нужно $a\ne 0$ и $a\ne -5$. Например, при $a=-5$ кандидаты $0$, $-5$, $-5$ дают только два различных корня.

Соберём все условия в систему:

$$\{\begin{array}{l}a⩽0,\\ a⩽25,\\ a⩽-2\text{или}a⩾0,\\ a\ne 0,\\ a\ne -5.\end{array}$$

Из первого и четвёртого условий $a<0$. Тогда третье условие даёт $a⩽-2$, а второе выполняется автоматически. Остаётся исключить $a=-5$:

Ответ: $a\in (-\infty ;-5)\cup (-5;-2]$.