Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система (xy-x+7)(y-x+7)=0… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Системы уравнений с параметром сложная 2023 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

${(x y - x + 7) (y - x + 7) = 0, y = 3 x + a$

имеет ровно два решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $x O y$ . Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а оба множителя определены при всех $x$ и $y$ . Поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$[x y - x + 7 = 0, y - x + 7 = 0.$

Первое уравнение: $x (y - 1) = - 7$ . При $x = 0$ получаем неверное равенство $0 = - 7$ , поэтому $x \neq = 0$ , и

$y = 1 - \frac{7}{x} .$

Это гипербола $H$ с асимптотами $x = 0$ и $y = 1$ . Второе уравнение задаёт прямую $L$ : $y = x - 7$ .

Найдём общие точки гиперболы и прямой:

$1 - \frac{7}{x} = x - 7; x - 7 = x^{2} - 7 x; x^{2} - 8 x + 7 = 0; x_{1} = 1, x_{2} = 7.$

Тогда $y_{1} = 1 - 7 = - 6$ , $y_{2} = 7 - 7 = 0$ . Получаем точки $P (1; - 6)$ и $Q (7; 0)$ .

Второе уравнение системы $y = 3 x + a$ задаёт семейство параллельных прямых $ℓ_{a}$ с угловым коэффициентом $3$ . Число решений системы равно числу общих точек прямой $ℓ_{a}$ с множеством $H \cup L$ .

Пересечение с прямой $L$ . Угловые коэффициенты $3$ и $1$ различны, поэтому $ℓ_{a}$ пересекает $L$ ровно в одной точке при любом $a$ : из $3 x + a = x - 7$ получаем $x = - \frac{a + 7}{2}$ .

Пересечение с гиперболой $H$ . Приравняем правые части и умножим на $x \neq = 0$ :

$1 - \frac{7}{x} = 3 x + a; x - 7 = 3 x^{2} + a x; 3 x^{2} + (a - 1) x + 7 = 0.$

Число $x = 0$ не является корнем этого уравнения, так как свободный член равен $7 \neq = 0$ . Поэтому каждому корню соответствует общая точка прямой и гиперболы. Дискриминант:

$D = (a - 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7 = (a - 1)^{2} - 84.$

При $D < 0$ общих точек с гиперболой нет, при $D = 0$ прямая касается гиперболы, при $D > 0$ общих точек две. $D = 0$ при $(a - 1)^{2} = 84$ , то есть

$a = 1 - 221 или a = 1 + 221 .$

Прохождение через $P$ и $Q$ . Если $ℓ_{a}$ проходит через $P$ или $Q$ , то точка её пересечения с $L$ лежит и на гиперболе, и одно решение засчитывается дважды. Через $P (1; - 6)$ : $- 6 = 3 + a$ , $a = - 9$ . Через $Q (7; 0)$ : $0 = 21 + a$ , $a = - 21$ . Через обе точки сразу прямая пройти не может: прямая $P Q$ имеет угловой коэффициент $\frac{0 - ( - 6 )}{7 - 1} = 1 \neq = 3$ .

Изобразим гиперболу, прямую $L$ и граничные положения прямой $ℓ_{a}$ (пунктир): две касательные и прямые через точки $P$ и $Q$ .

Графическая иллюстрация

Разберём все случаи.

При $1 - 221 < a < 1 + 221$ имеем $D < 0$ : с гиперболой общих точек нет, есть только одна точка на $L$ . Решение одно. Значения $a = - 9$ и $a = - 21$ в этот интервал не входят, так как $1 - 221 > 1 - 2 \cdot 5 = - 9$ .

При $a = 1 \pm 221$ прямая касается гиперболы в точке с абсциссой $x = - \frac{a - 1}{6} = \mp \frac{21}{3}$ . Это не $P$ и не $Q$ (их абсциссы $1$ и $7$ ), поэтому точка касания отлична от точки пересечения с $L$ . Получаем два решения.

При $a = - 9$ уравнение $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ имеет корни $x = 1$ и $x = \frac{7}{3}$ , а точка пересечения с $L$ имеет абсциссу $x = - \frac{- 9 + 7}{2} = 1$ , то есть это точка $P$ . Различных точек две: $P (1; - 6)$ и $(\frac{7}{3}; - 2)$ — два решения.

При $a = - 21$ уравнение $3 x^{2} - 22 x + 7 = 0$ имеет корни $x = 7$ и $x = \frac{1}{3}$ , а точка пересечения с $L$ имеет абсциссу $x = - \frac{- 21 + 7}{2} = 7$ , то есть это точка $Q$ . Различных точек две: $Q (7; 0)$ и $(\frac{1}{3}; - 20)$ — два решения.

При остальных $a$ с $∣ a - 1∣ > 221$ прямая пересекает гиперболу в двух точках, не проходит через $P$ и $Q$ и ещё раз пересекает $L$ . Решений три.

Ответ: $a \in {- 21; - 9; 1 - 221; 1 + 221}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19