ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Будем решать задачу графически в системе координат $xOy$.

Рассмотрим второе уравнение. Квадратный корень неотрицателен, поэтому $x-4⩾0$. При этом условии обе части можно возвести в квадрат:

$$x-4=\sqrt{9-y}\iff \{\begin{array}{l}(x-4{)}^2=9-y,\\ x⩾4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=9-(x-4{)}^2,\\ x⩾4.\end{array}$$

Условие $9-y⩾0$ отдельно писать не нужно: $9-y=(x-4{)}^2⩾0$. Первое уравнение задаёт параболу с вершиной $A(4;9)$, ветви которой направлены вниз. Условие $x⩾4$ оставляет от неё правую ветвь вместе с вершиной. Обозначим эту ветвь $P$.

Найдём, где парабола пересекает ось $Ox$: $(x-4{)}^2=9$, $x=1$ или $x=7$. Условию $x⩾4$ удовлетворяет только $x=7$, получаем точку $B(7;0)$. На дуге $AB$ (при $4⩽x⩽7$) ветвь лежит не ниже оси $Ox$, а при $x>7$ — ниже неё.

Рассмотрим первое уравнение. В любом решении системы $x⩾4>0$, поэтому $|x|=x$, и система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}|y|=x+a,\\ y=9-(x-4{)}^2,\\ x⩾4.\end{array}$$

Раскроем модуль в уравнении $|y|=x+a$. При $y⩾0$ получаем $y=x+a$, при $y<0$ получаем $y=-x-a$. В обоих случаях $x+a=|y|⩾0$, то есть $x⩾-a$. Значит, уравнение $|y|=x+a$ задаёт уголок с вершиной $V(-a;0)$ на оси $Ox$, раскрытый вправо. Его верхняя сторона — луч $y=x+a$, $y⩾0$, нижняя сторона — луч $y=-x-a$, $y<0$. При изменении $a$ уголок сдвигается вдоль оси $Ox$: с ростом $a$ вершина уходит влево.

Решения системы — общие точки уголка и ветви $P$. Верхняя сторона ($y⩾0$) может пересечь только дугу $AB$, а нижняя ($y<0$) — только часть ветви правее точки $B$. Разберём стороны по отдельности.

Верхняя сторона и дуга $AB$. Нужно решить уравнение $9-(x-4{)}^2=x+a$ при $4⩽x⩽7$, то есть

$$a=9-(x-4{)}^2-x,4⩽x⩽7.$$

На отрезке $[4;7]$ оба слагаемых $-(x-4{)}^2$ и $-x$ убывают, поэтому правая часть строго убывает: от $9-0-4=5$ при $x=4$ до $9-9-7=-7$ при $x=7$. Значит, общая точка ровно одна при $-7⩽a⩽5$, и её нет при остальных $a$. Граничные положения: при $a=5$ верхняя сторона проходит через вершину $A(4;9)$ (положение I: $9=4+a$), при $a=-7$ вершина уголка совпадает с точкой $B(7;0)$ (положение II: $-a=7$).

Нижняя сторона и ветвь правее $B$. Нужно решить уравнение $9-(x-4{)}^2=-x-a$ при $x>7$, то есть

$$a=(x-4{)}^2-9-x=x^2-9x+7,x>7.$$

Абсцисса вершины параболы $x^2-9x+7$ равна $4,5<7$, поэтому при $x>7$ эта функция строго возрастает: от $49-63+7=-7$ (это значение не достигается, так как $x>7$) до $+\infty$. Значит, общая точка ровно одна при $a>-7$, и её нет при $a⩽-7$.

Изобразим ветвь $P$, граничные положения уголка (пунктир) и промежуточное положение $a=0$ (тонкие линии), при котором общих точек две.

Точки на разных сторонах уголка различны: у одной $y⩾0$, у другой $y<0$. Сложим количества.

При $a<-7$ общих точек нет — решений нет.

При $a=-7$ есть только точка $B(7;0)$ на верхней стороне — одно решение.

При $-7<a⩽5$ по одной точке на каждой стороне — два решения.

При $a>5$ есть только точка на нижней стороне — одно решение.

Ответ: $a\in (-7;5]$.