ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Преобразуем второе уравнение системы, сгруппировав слагаемые:

$$x^2+y=xy+x;x^2-x-xy+y=0;x(x-1)-y(x-1)=0;(x-1)(x-y)=0.$$

Значит, $x=1$ или $y=x$, и исходная система равносильна совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x=1;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ y=x.\end{array}\end{array}$$

Выясним, сколько решений имеет каждая из систем.

Система с $x=1$. Подставим $x=1$ в первое уравнение:

$$a+a{y}^2-(2a-5)+2ay+1=0;a{y}^2+2ay+6-a=0.$$

Каждому корню $y$ соответствует одно решение $(1;y)$. При $a=0$ уравнение превращается в $6=0$ — решений нет. При $a\ne 0$ уравнение квадратное. Найдём четверть дискриминанта:

$$\frac{D}{4}=a^2-a(6-a)=2a^2-6a=2a(a-3).$$

Два различных решения будут при $2a(a-3)>0$:

то есть при $a<0$ или $a>3$. При $a=3$ решение одно, при $0<a<3$ решений нет.

Система с $y=x$. Подставим $y=x$ в первое уравнение:

$$a{x}^2+a{x}^2-(2a-5)x+2ax+1=0;2a{x}^2+5x+1=0.$$

Каждому корню $x$ соответствует одно решение $(x;x)$. При $a=0$ уравнение линейное, $5x+1=0$, решение одно: $x=-\frac{1}{5}$. При $a\ne 0$ уравнение квадратное, $D=25-8a$. Два различных решения будут при $25-8a>0$, то есть при $a<\frac{25}{8}$ (и $a\ne 0$). При $a=\frac{25}{8}$ решение одно, при $a>\frac{25}{8}$ решений нет.

Общие решения. Прямые $x=1$ и $y=x$ пересекаются в единственной точке $(1;1)$. Поэтому решение может оказаться общим для двух систем, только если это точка $(1;1)$. Подставим её в первое уравнение:

$$a+a-(2a-5)+2a+1=0;2a+6=0;a=-3.$$

При $a=-3$ точка $(1;1)$ — решение обеих систем. Первая система: $-3y^2-6y+9=0$, $y^2+2y-3=0$, $y=1$ или $y=-3$. Вторая: $-6x^2+5x+1=0$, $x=1$ или $x=-\frac{1}{6}$. Всего различных решений три: $(1;1)$, $(1;-3)$, $\left(-\frac{1}{6};-\frac{1}{6}\right)$.

Итог. Каждая система имеет не больше двух решений. Чтобы всего было ровно четыре различных решения, каждая система должна иметь ровно два решения, и общих решений быть не должно:

$$\{\begin{array}{l}a<0\text{или}a>3,\\ a<\frac{25}{8},a\ne 0,\\ a\ne -3.\end{array}$$

Пересечение первых двух условий: $a<0$ или $3<a<\frac{25}{8}$. Исключаем $a=-3$:

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;0)\cup \left(3;\frac{25}{8}\right)$.