ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Пусть $t=|x-6|-|x-a|$. Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-3at+2a^2+a-1=0.$$

Найдём его корни:

$$D=9a^2-4(2a^2+a-1)=a^2-4a+4=(a-2{)}^2;$$

$$t_1=\frac{3a+(a-2)}{2}=2a-1,t_2=\frac{3a-(a-2)}{2}=a+1.$$

Значит, исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}|x-6|-|x-a|=2a-1,\\ |x-6|-|x-a|=a+1.\end{array}$$

Выясним, сколько решений имеет уравнение $|x-6|-|x-a|=c$ при разных $c$. Для этого раскроем модули: они обнуляются при $x=6$ и $x=a$.

Случай $a=6$. Тогда $t=|x-6|-|x-6|=0$ при всех $x$. Подставив $t=0$ в квадратное уравнение, получим $2a^2+a-1=72+6-1=77\ne 0$. Корней нет — этот случай не подходит.

Случай $a>6$. При $x⩽6$: $t=(6-x)-(a-x)=6-a$. При $6<x<a$: $t=(x-6)-(a-x)=2x-6-a$. При $x⩾a$: $t=(x-6)-(x-a)=a-6$.

На промежутке $(6;a)$ функция $t$ линейна и возрастает от $6-a$ до $a-6$. Поэтому каждое значение из интервала $(6-a;a-6)$ она принимает ровно один раз. Значения $6-a$ и $a-6$ принимаются на целых лучах, то есть бесконечно много раз, а остальные значения не принимаются вовсе.

Случай $a<6$. При $x⩽a$: $t=(6-x)-(a-x)=6-a$. При $a<x<6$: $t=(6-x)-(x-a)=6+a-2x$. При $x⩾6$: $t=(x-6)-(x-a)=a-6$.

Теперь $t$ на промежутке $(a;6)$ убывает от $6-a$ до $a-6$. Вывод тот же: каждое значение из интервала $(a-6;6-a)$ принимается ровно один раз, крайние значения — бесконечно много раз, остальные — ни разу.

Объединим оба случая. При $a\ne 6$ уравнение $|x-6|-|x-a|=c$:

• имеет ровно одно решение, если $-|a-6|<c<|a-6|$;
• имеет бесконечно много решений, если $c=\pm |a-6|$;
• не имеет решений, если $|c|>|a-6|$.

Корни, отвечающие разным значениям $t$, различны: одному $x$ соответствует одно значение $t$. Если $t_1$ или $t_2$ равно $\pm |a-6|$, корней бесконечно много. Если $t_1=t_2$, корень не больше одного (или их бесконечно много). Поэтому исходное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда $t_1\ne t_2$ и оба числа лежат в интервале $(-|a-6|;|a-6|)$:

$$\{\begin{array}{l}|2a-1|<|a-6|,\\ |a+1|<|a-6|,\\ 2a-1\ne a+1.\end{array}$$

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат: $|u|<|v|\iff u^2-v^2<0\iff (u-v)(u+v)<0$.

Первое неравенство:

$$(2a-1-a+6)(2a-1+a-6)<0;(a+5)(3a-7)<0.$$

Получаем $-5<a<\frac{7}{3}$.

Второе неравенство:

$$(a+1-a+6)(a+1+a-6)<0;7(2a-5)<0;a<\frac{5}{2}.$$

Третье условие: $a\ne 2$.

Так как $\frac{7}{3}<\frac{5}{2}$, пересечение первых двух условий — интервал $\left(-5;\frac{7}{3}\right)$. Из него исключаем $a=2$. Значение $a=6$ сюда не попадает.

Ответ: $a\in (-5;2)\cup \left(2;\frac{7}{3}\right)$.