ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Так как $a$ — основание логарифма, должны выполняться условия

$$a>0,a\ne 1.$$

Других ограничений нет: при $a>0$ степень $a^{2\cos x}$ положительна, поэтому выражение $\sqrt{21+4a^{2\cos x}}$ определено и положительно при любом $x$.

По определению логарифма ${\log }_{a}b=c$ равносильно $a^c=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$). Поэтому уравнение равносильно уравнению

$$\sqrt{21+4a^{2\cos x}}=a^{2\cos x}.$$

Сделаем замену $t=a^{2\cos x}$, причём $t>0$. Получим $\sqrt{21+4t}=t$. Корень равен $t$ тогда и только тогда, когда $t⩾0$ и подкоренное выражение равно $t^2$:

$$\{\begin{array}{l}21+4t=t^2,\\ t⩾0.\end{array}$$

Решим квадратное уравнение $t^2-4t-21=0$: $D=16+84=100$, $t=\frac{4\pm 10}{2}$, то есть $t_1=7$, $t_2=-3$. Условию $t⩾0$ удовлетворяет только $t=7$.

Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

$$a^{2\cos x}=7,$$

и нужно найти $a$, при которых оно имеет хотя бы одно решение. Значения $\cos x$ заполняют весь отрезок $[-1;1]$, поэтому показатель $s=2\cos x$ принимает все значения из отрезка $[-2;2]$. Функция $s\mapsto a^s$ непрерывна и монотонна. Значит, выражение $a^{2\cos x}$ принимает все значения между $a^{-2}$ и $a^2$, и только их. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда число $7$ лежит между этими значениями.

Случай $a>1$. Функция $a^s$ возрастает, поэтому

$$\frac{1}{a^2}⩽a^{2\cos x}⩽a^2.$$

Нужно $\frac{1}{a^2}⩽7⩽a^2$. Левое неравенство выполняется автоматически: $\frac{1}{a^2}<1<7$. Из правого: $a^2⩾7$, и с учётом $a>1$ получаем $a⩾\sqrt{7}$.

Случай $0<a<1$. Функция $a^s$ убывает, поэтому

$$a^2⩽a^{2\cos x}⩽\frac{1}{a^2}.$$

Нужно $a^2⩽7⩽\frac{1}{a^2}$. Левое неравенство выполняется автоматически: $a^2<1<7$. Из правого: $7a^2⩽1$, $a^2⩽\frac{1}{7}$, и с учётом $0<a<1$ получаем

$$0<a⩽\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}.$$

Объединим оба случая:

Ответ: $a\in \left(0;\frac{\sqrt{7}}{7}\right]\cup \left[\sqrt{7};+\infty \right)$.