ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма $8\cdot 2^x$ положителен при всех $x$. Знаменатель не равен нулю:

$${\log }_3\left(8\cdot 2^x\right)\ne 0\iff 8\cdot 2^x\ne 1.$$

По свойству степени $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ имеем $8\cdot 2^x=2^3\cdot 2^x=2^{x+3}$, а $1=2^0$. Значит, $x+3\ne 0$, то есть ОДЗ: $x\ne -3$.

Преобразуем знаменатель по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_3\left(8\cdot 2^x\right)={\log }_3{2}^{x+3}=(x+3){\log }_{3}2.$$

Заметим, что ${\log }_{3}2>{\log }_{3}1=0$, так как основание $3>1$ и $2>1$.

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2+2x-3=0$ по теореме Виета — $x=-3$ и $x=1$ (сумма $-2$, произведение $-3$). Значит, $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{(x+3)(x-1)}{(x+3){\log }_{3}2}⩽0.$$

Умножим обе части на положительное число ${\log }_{3}2$, знак неравенства не изменится:

$$\frac{(x+3)(x-1)}{x+3}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Точка $x=-3$ — нуль и числителя, и знаменателя, она исключена ОДЗ, поэтому её выкалываем. При $x>1$ дробь положительна. При переходе через простой корень $1$ знак меняется. Множитель $x+3$ входит и в числитель, и в знаменатель, то есть в чётной суммарной степени, поэтому при переходе через $-3$ знак не меняется:

Получаем $x⩽1$, $x\ne -3$.

Ответ: $(-\infty ;-3)\cup (-3;1]$.