ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$100x^2-140x+49=(10x{)}^2-2\cdot 10x\cdot 7+7^2=(10x-7{)}^2.$$

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-2>0,\\ 2^x>0,\\ (10x-7{)}^2\ne 0.\end{array}$$

Неравенство $2^x>0$ верно при всех $x$. По свойству степени $4^x={\left(2^2\right)}^x=2^{2x}$, поэтому первое условие — это $2^{2x}>2^1$. Функция $y=2^u$ возрастает (основание $2>1$), значит, $2x>1$, то есть $x>0,5$. Третье условие даёт $x\ne 0,7$.

ОДЗ: $x\in (0,5;0,7)\cup (0,7;+\infty )$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\log }_8\left(4^x-2\right)-{\log }_8{2}^x}{(10x-7{)}^2}⩽0.$$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть строго положителен. Поэтому дробь неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель:

$${\log }_8\left(4^x-2\right)⩽{\log }_8{2}^x.$$

Функция $y={\log }_{8}u$ возрастает (основание $8>1$), а на ОДЗ оба аргумента положительны. Значит, переход к аргументам равносилен и знак сохраняется:

$$4^x-2⩽2^x\iff 4^x-2^x-2⩽0.$$

Сделаем замену $t=2^x$. Тогда $4^x=t^2$, а $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения:

$$t^2-t-2⩽0.$$

Корни уравнения $t^2-t-2=0$ по теореме Виета — $t=-1$ и $t=2$ (сумма $1$, произведение $-2$). Значит, $(t+1)(t-2)⩽0$. Решим методом интервалов, точки закрашенные, так как неравенство нестрогое:

Получаем $-1⩽t⩽2$. С учётом условия $t>0$ остаётся $0<t⩽2$.

Сделаем обратную замену. Неравенство $2^x>0$ верно при всех $x$, остаётся $2^x⩽2^1$. Функция $y=2^x$ возрастает, поэтому

$$x⩽1.$$

Пересечём с ОДЗ: от промежутка $(0,5;+\infty )$ остаётся $(0,5;1]$, и точка $0,7$ по-прежнему выколота.

Ответ: $(0,5;0,7)\cup (0,7;1]$.