Решите неравенство (log₆(x+1)-log₆(6-x))/(log₆²x²+log₆ x⁴+1)≤0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифм с переменным основанием средняя 2025 развёрнутое

Решите неравенство

$\frac{lo g _{6} ( x + 1 ) - lo g _{6} ( 6 - x )}{lo g _{6}^{2} x ^{2} + lo g _{6} x ^{4} + 1} ⩽ 0.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю:

$⎩ ⎨ ⎧ x + 1 > 0, 6 - x > 0, x^{2} > 0, x^{4} > 0, lo g_{6}^{2} x^{2} + lo g_{6} x^{4} + 1 \neq = 0.$

Первые два неравенства дают $- 1 < x < 6$ , третье и четвёртое — $x \neq = 0$ .

Разберёмся со знаменателем. При $x \neq = 0$ число $x^{2}$ положительно и $x^{4} = (x^{2})^{2}$ , поэтому по свойству логарифма степени $lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$ (при $b > 0$ )

$lo g_{6} x^{4} = lo g_{6} (x^{2})^{2} = 2 lo g_{6} x^{2} .$

Тогда по формуле квадрата суммы $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ , где $a = lo g_{6} x^{2}$ , $b = 1$ :

$lo g_{6}^{2} x^{2} + 2 lo g_{6} x^{2} + 1 = (lo g_{6} x^{2} + 1)^{2} .$

Знаменатель равен нулю, когда $lo g_{6} x^{2} = - 1$ , то есть $x^{2} = 6^{- 1} = \frac{1}{6}$ , откуда $x = \pm \frac{1}{6} = \pm \frac{6}{6}$ . Эти точки исключаем.

Так как $\frac{6}{6} \approx 0, 41$ , все исключённые точки лежат внутри промежутка $(- 1; 6)$ . ОДЗ:

Решение на числовой прямой

$x \in (- 1; - \frac{6}{6}) \cup (- \frac{6}{6}; 0) \cup (0; \frac{6}{6}) \cup (\frac{6}{6}; 6) .$

На ОДЗ неравенство принимает вид

$\frac{lo g _{6} ( x + 1 ) - lo g _{6} ( 6 - x )}{( lo g _{6} x ^{2} + 1 ) ^{2}} ⩽ 0.$

На ОДЗ знаменатель — квадрат ненулевого числа, то есть он строго положителен. Дробь с положительным знаменателем неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель:

$lo g_{6} (x + 1) - lo g_{6} (6 - x) ⩽ 0 \Leftrightarrow lo g_{6} (x + 1) ⩽ lo g_{6} (6 - x) .$

Функция $y = lo g_{6} u$ возрастает (основание $6 > 1$ ), а на ОДЗ оба аргумента положительны. Поэтому переход к аргументам равносилен и знак сохраняется:

$x + 1 ⩽ 6 - x \Leftrightarrow 2 x ⩽ 5 \Leftrightarrow x ⩽ \frac{5}{2} .$

Пересечём с ОДЗ: правая граница $6$ заменяется на $\frac{5}{2}$ , точка $\frac{5}{2}$ входит в ответ, так как неравенство нестрогое, а выколотые точки $- \frac{6}{6}$ , $0$ , $\frac{6}{6}$ остаются выколотыми:

Решение на числовой прямой

Ответ: $(- 1; - \frac{6}{6}) \cup (- \frac{6}{6}; 0) \cup (0; \frac{6}{6}) \cup (\frac{6}{6}; \frac{5}{2}]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16