ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Упростим первое подкоренное выражение по формуле квадрата разности:

$$(x-5{)}^2-x^2=x^2-10x+25-x^2=25-10x.$$

Найдём ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$$\{\begin{array}{l}25-10x⩾0,\\ x+5⩾0,\\ 4x+20⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩽\frac{5}{2},\\ x⩾-5.\end{array}$$

Третье неравенство $4(x+5)⩾0$ совпадает со вторым.

ОДЗ: $x\in \left[-5;\frac{5}{2}\right]$.

Преобразуем правую часть. По свойству $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ (при $a⩾0$, $b⩾0$) имеем $\sqrt{4x+20}=\sqrt{4(x+5)}=2\sqrt{x+5}$. Неравенство принимает вид

$$\sqrt{25-10x}+\sqrt{x+5}⩾2\sqrt{x+5}.$$

Вычтем из обеих частей $\sqrt{x+5}$:

$$\sqrt{25-10x}⩾\sqrt{x+5}.$$

На ОДЗ обе части неотрицательны. Функция $y=\sqrt{u}$ возрастает на $[0;+\infty )$, поэтому для неотрицательных $A$ и $B$ неравенство $\sqrt{A}⩾\sqrt{B}$ равносильно $A⩾B$ (это то же, что возвести обе неотрицательные части в квадрат):

$$25-10x⩾x+5\iff 20⩾11x\iff x⩽\frac{20}{11}.$$

Пересечём с ОДЗ. Так как $\frac{20}{11}<2<\frac{5}{2}$, правая граница становится $\frac{20}{11}$, левая остаётся $-5$:

Ответ: $\left[-5;\frac{20}{11}\right]$.