Решите неравенство log₁₄(8x²+7)-log₁₄(x²+x+1)≥log₁₄(x/(x+3)+7) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя 2025 развёрнутое

Решите неравенство $lo g_{14} (8 x^{2} + 7) - lo g_{14} (x^{2} + x + 1) ⩾ lo g_{14} (\frac{x}{x + 3} + 7) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$⎩ ⎨ ⎧ 8 x^{2} + 7 > 0, x^{2} + x + 1 > 0, \frac{x}{x + 3} + 7 > 0.$

Первое неравенство верно при всех $x$ , так как $8 x^{2} ⩾ 0$ . Во втором дискриминант $D = 1 - 4 = - 3 < 0$ , а старший коэффициент положителен, значит, трёхчлен положителен при всех $x$ . Третье неравенство приведём к общему знаменателю:

$\frac{x + 7 ( x + 3 )}{x + 3} > 0 \Leftrightarrow \frac{8 x + 21}{x + 3} > 0.$

Решим методом интервалов. Нули $x = - \frac{21}{8}$ и $x = - 3$ выколоты, так как неравенство строгое. Заметим, что $- 3 < - \frac{21}{8}$ :

Метод интервалов

ОДЗ: $x \in (- \infty; - 3) \cup (- \frac{21}{8}; + \infty)$ .

На ОДЗ по формуле разности логарифмов $lo g_{a} A - lo g_{a} B = lo g_{a} \frac{A}{B}$ (при $A > 0$ , $B > 0$ ) неравенство принимает вид

$lo g_{14} \frac{8 x ^{2} + 7}{x ^{2} + x + 1} ⩾ lo g_{14} \frac{8 x + 21}{x + 3} .$

Функция $y = lo g_{14} u$ возрастает (основание $14 > 1$ ), а на ОДЗ оба аргумента положительны. Поэтому переход к аргументам равносилен и знак сохраняется:

$\frac{8 x ^{2} + 7}{x ^{2} + x + 1} ⩾ \frac{8 x + 21}{x + 3} .$

Перенесём дробь из правой части влево и приведём к общему знаменателю:

$\frac{( 8 x ^{2} + 7 ) ( x + 3 ) - ( 8 x + 21 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 3 )} ⩾ 0.$

Раскроем скобки в числителе:

$(8 x^{2} + 7) (x + 3) = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 7 x + 21,$

$(8 x + 21) (x^{2} + x + 1) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 21 x^{2} + 21 x + 21 = 8 x^{3} + 29 x^{2} + 29 x + 21.$

Их разность равна $- 5 x^{2} - 22 x = - x (5 x + 22)$ :

$\frac{- x ( 5 x + 22 )}{( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 3 )} ⩾ 0.$

Множитель $x^{2} + x + 1$ положителен при всех $x$ , поэтому умножим на него обе части — знак не изменится. Затем умножим на $- 1$ , при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x ( 5 x + 22 )}{x + 3} ⩽ 0.$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x = 0$ и $x = - \frac{22}{5}$ закрашиваем, нуль знаменателя $x = - 3$ выкалываем. Порядок точек: $- \frac{22}{5} = - 4, 4 < - 3 < 0$ . При $x > 0$ дробь положительна, все корни простые, знаки чередуются:

Метод интервалов

Получаем $x ⩽ - \frac{22}{5}$ или $- 3 < x ⩽ 0$ . Пересечём с ОДЗ. Промежуток $x ⩽ - \frac{22}{5}$ целиком лежит левее $- 3$ и остаётся. От промежутка $(- 3; 0]$ остаётся только часть правее $- \frac{21}{8}$ :

Решение на числовой прямой

Ответ: $(- \infty; - \frac{22}{5}] \cup (- \frac{21}{8}; 0]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16