ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Обе части неравенства определены при всех $x$ и положительны. Функция $y={\log }_{3}u$ возрастает (основание $3>1$), поэтому логарифмирование обеих частей по основанию $3$ — равносильный переход, знак неравенства сохраняется:

$${\log }_3\left(3^{x^2}\cdot 5^{x-1}\right)⩾{\log }_{3}3.$$

По свойству логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ и логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ получаем ${\log }_3{3}^{x^2}=x^2$, ${\log }_3{5}^{x-1}=(x-1){\log }_{3}5$, а ${\log }_{3}3=1$:

$$x^2+(x-1){\log }_{3}5⩾1.$$

Перенесём единицу влево и сгруппируем слагаемые:

$$\left(x^2-1\right)+(x-1){\log }_{3}5⩾0.$$

По формуле разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Вынесем общий множитель $x-1$ за скобки:

$$(x-1)\left(x+1+{\log }_{3}5\right)⩾0.$$

Корни левой части — $x=1$ и $x=-1-{\log }_{3}5$. Это те же корни, что у квадратного трёхчлена $x^2+x{\log }_{3}5-\left({\log }_{3}5+1\right)$, который получается после раскрытия скобок. Так как ${\log }_{3}5>0$, то $-1-{\log }_{3}5<0<1$.

Решим методом интервалов. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. При $x>1$ оба множителя положительны, дальше знаки чередуются:

Ответ: $(-\infty ;-1-{\log }_{3}5]\cup [1;+\infty )$.