ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}7-x>0,\\ x+20>0,\\ x^2-6x>0,\\ 7^{{\log }_7(7-x)}+20^{{\log }_{20}(x+20)}>0.\end{array}$$

Последнее условие выполняется автоматически: это сумма двух степеней с положительными основаниями, а такие степени положительны. Первые два неравенства дают $-20<x<7$. Третье запишем как $x(x-6)>0$ и решим методом интервалов, точки выколотые, так как неравенство строгое:

Получаем $x<0$ или $x>6$. Пересечём с промежутком $(-20;7)$:

ОДЗ: $x\in (-20;0)\cup (6;7)$.

Решим неравенство на ОДЗ. По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$) получаем $7^{{\log }_7(7-x)}=7-x$ и $20^{{\log }_{20}(x+20)}=x+20$. Их сумма $(7-x)+(x+20)=27$ не зависит от $x$:

$${\log }_{3}27+1⩾{\log }_2\left(x^2-6x\right).$$

Так как $3^3=27$, то ${\log }_{3}27=3$, и левая часть равна $4$. Запишем $4={\log }_{2}16$, поскольку $2^4=16$:

$${\log }_2\left(x^2-6x\right)⩽{\log }_{2}16.$$

Применим метод рационализации: при $a>0$, $a\ne 1$ и положительных $A$, $B$ разность ${\log }_{a}A-{\log }_{a}B$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(A-B)$. Здесь $a=2$, $a-1=1>0$, а условие $x^2-6x>0$ уже учтено в ОДЗ. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно

$$x^2-6x-16⩽0.$$

Корни уравнения $x^2-6x-16=0$ по теореме Виета — $x=-2$ и $x=8$ (сумма $6$, произведение $-16$). Получаем

$$(x+2)(x-8)⩽0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашенные, так как неравенство нестрогое:

Получаем $-2⩽x⩽8$. Пересечём с ОДЗ: от промежутка $(-20;0)$ остаётся $[-2;0)$, а промежуток $(6;7)$ целиком лежит внутри $[-2;8]$:

Ответ: $[-2;0)\cup (6;7)$.