ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатели не равны нулю: $3^x\ne 6$ и $3^x\ne 9$.

Выразим все степени через $3^x$ по свойствам $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и ${\left(a^m\right)}^n={\left(a^n\right)}^m$:

$$9^x={\left(3^x\right)}^2,3^{x+1}=3\cdot 3^x,9^{x+1}=9\cdot {\left(3^x\right)}^2,3^{x+4}=81\cdot 3^x.$$

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; кроме того, $t\ne 6$, $t\ne 9$:

$$\frac{t^2-3t-19}{t-6}+\frac{9t^2-81t+2}{t-9}⩽10t+3.$$

Если сразу привести всё к общему знаменателю, в числителе получится многочлен третьей степени. Удобнее выделить в каждой дроби целую часть. Заметим, что $(t+3)(t-6)=t^2-3t-18$, поэтому $t^2-3t-19=(t+3)(t-6)-1$ и

$$\frac{t^2-3t-19}{t-6}=t+3-\frac{1}{t-6}.$$

Аналогично $9t(t-9)=9t^2-81t$, поэтому $9t^2-81t+2=9t(t-9)+2$ и

$$\frac{9t^2-81t+2}{t-9}=9t+\frac{2}{t-9}.$$

Подставим в неравенство:

$$t+3-\frac{1}{t-6}+9t+\frac{2}{t-9}⩽10t+3.$$

Слагаемые $t+3+9t=10t+3$ слева и $10t+3$ справа взаимно уничтожаются:

$$\frac{2}{t-9}-\frac{1}{t-6}⩽0.$$

Знаки знаменателей заранее неизвестны, поэтому на них не умножаем, а приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2(t-6)-(t-9)}{(t-6)(t-9)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе: $2t-12-t+9=t-3$. Получаем

$$\frac{t-3}{(t-6)(t-9)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $t=6$ и $t=9$ выкалываем. При $t>9$ все множители положительны, все корни простые, поэтому дальше знаки чередуются:

Получаем $t⩽3$ или $6<t<9$. Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽3,\\ 6<t<9.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $3^x>0$ верно при всех $x$. Запишем границы степенями тройки: $3=3^1$, $6=3^{{\log }_{3}6}$, $9=3^2$. Функция $y=3^x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому при переходе к показателям знаки сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^1,\\ 3^{{\log }_{3}6}<3^x<3^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ {\log }_{3}6<x<2.\end{array}$$

Так как $3<6<9$, то $1<{\log }_{3}6<2$, и промежутки не пересекаются:

Ответ: $(-\infty ;1]\cup ({\log }_{3}6;2)$.