ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифм ${\log }_{3}x$ определён при $x>0$. Кроме того, выражение ${\log }_3^{2}x+4{\log }_{3}x$ стоит в знаменателе, поэтому оно не равно нулю. Это условие учтём через замену.

Сделаем замену $t={\log }_3^{2}x+4{\log }_{3}x$, где $t\ne 0$:

$$\frac{12}{t^2}+\frac{7}{t}+1⩾0.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю $t^2$:

$$\frac{t^2+7t+12}{t^2}⩾0.$$

Корни уравнения $t^2+7t+12=0$ по теореме Виета — $t=-3$ и $t=-4$ (сумма $-7$, произведение $12$). Значит,

$$\frac{(t+3)(t+4)}{t^2}⩾0.$$

Вернёмся к логарифму через вторую замену $s={\log }_{3}x$. Тогда $t=s^2+4s$, и каждый множитель раскладывается:

$$t+3=s^2+4s+3=(s+1)(s+3),$$

$$t+4=s^2+4s+4=(s+2{)}^2,$$

$$t^2={\left(s(s+4)\right)}^2=s^2(s+4{)}^2.$$

Первый трёхчлен разложен по теореме Виета (корни $-1$ и $-3$), второй — полный квадрат по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{(s+1)(s+3)(s+2{)}^2}{s^2(s+4{)}^2}⩾0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя $s=-3$, $s=-2$, $s=-1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $s=-4$ и $s=0$ выкалываем — это и есть условие $t\ne 0$. При $s>0$ все множители положительны, дробь положительна. При переходе через простые корни $-1$ и $-3$ знак меняется, а через корни $0$, $-2$, $-4$ — нет, потому что соответствующие множители стоят в квадрате:

Дробь положительна на промежутках $s<-4$, $-4<s<-3$, $-1<s<0$, $s>0$ и равна нулю при $s=-3$, $s=-2$, $s=-1$. Точка $s=-2$ лежит между двумя промежутками со знаком «минус», поэтому входит в ответ отдельной точкой:

$$s\in (-\infty ;-4)\cup (-4;-3]\cup \{-2\}\cup [-1;0)\cup (0;+\infty ).$$

Сделаем обратную замену $s={\log }_{3}x$. Запишем границы как логарифмы по основанию $3$: $-4={\log }_3\frac{1}{81}$, $-3={\log }_3\frac{1}{27}$, $-2={\log }_3\frac{1}{9}$, $-1={\log }_3\frac{1}{3}$, $0={\log }_{3}1$. Функция $y={\log }_{3}x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому знаки неравенств сохраняются. Условие $x>0$ добавляем в первую строку — дальше оно выполняется автоматически:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<-4,\\ -4<{\log }_{3}x⩽-3,\\ {\log }_{3}x=-2,\\ -1⩽{\log }_{3}x<0,\\ {\log }_{3}x>0\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{81},\\ \frac{1}{81}<x⩽\frac{1}{27},\\ x=\frac{1}{9},\\ \frac{1}{3}⩽x<1,\\ x>1.\end{array}$$

Ответ: $\left(0;\frac{1}{81}\right)\cup \left(\frac{1}{81};\frac{1}{27}\right]\cup \left\{\frac{1}{9}\right\}\cup \left[\frac{1}{3};1\right)\cup (1;+\infty )$.