ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифм $\lg \left(x^2-4\right)$ определён, когда его аргумент положителен. Степень $(x+2{)}^{\lg 2}$ с иррациональным показателем $\lg 2$ рассматривается только при положительном основании. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4>0,\\ x+2>0.\end{array}$$

Первое неравенство разложим по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)>0$. Решим его методом интервалов, точки выколотые, так как неравенство строгое:

Получаем $x<-2$ или $x>2$. Вместе со вторым условием $x>-2$ остаётся ОДЗ: $x>2$.

Преобразуем правую часть. Воспользуемся свойством $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$ (при $a>0$, $c>0$, $b>0$, $b\ne 1$). Убедимся в нём для нашего случая: прологарифмируем по основанию $10$ оба выражения $(x+2{)}^{\lg 2}$ и $2^{\lg (x+2)}$. По свойству логарифма степени $\lg u^k=k\lg u$ получаем

$$\lg \left((x+2{)}^{\lg 2}\right)=\lg 2\cdot \lg (x+2),\lg \left(2^{\lg (x+2)}\right)=\lg (x+2)\cdot \lg 2.$$

Логарифмы двух положительных чисел равны, значит, равны и сами числа: $(x+2{)}^{\lg 2}=2^{\lg (x+2)}$. На ОДЗ неравенство принимает вид

$$2^{\lg \left(x^2-4\right)}⩾2^{\lg (x+2)}.$$

Функция $y=2^u$ возрастает, так как $2>1$, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$$\lg \left(x^2-4\right)⩾\lg (x+2).$$

Функция $y=\lg u$ тоже возрастает (основание $10>1$), а на ОДЗ оба аргумента положительны. Поэтому переход к аргументам равносилен и знак сохраняется:

$$x^2-4⩾x+2\iff x^2-x-6⩾0.$$

Корни уравнения $x^2-x-6=0$ по теореме Виета — $x=-2$ и $x=3$ (сумма $1$, произведение $-6$). Значит,

$$(x+2)(x-3)⩾0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашенные, так как неравенство нестрогое:

Получаем $x⩽-2$ или $x⩾3$. Пересечём с ОДЗ $x>2$: промежуток $x⩽-2$ отпадает, остаётся $x⩾3$.

Ответ: $[3;+\infty )$.