ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Показательные выражения определены при всех $x$, поэтому единственное ограничение — знаменатель не равен нулю.

Преобразуем знаменатель. По свойствам степени $16^x={\left(4^2\right)}^x={\left(4^x\right)}^2$ и $4^{x+1}=4^x\cdot 4=2\cdot 4^x\cdot 2$. Тогда

$$16^x-4^{x+1}+4={\left(4^x\right)}^2-2\cdot 4^x\cdot 2+2^2={\left(4^x-2\right)}^2.$$

Здесь мы применили формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$, где $a=4^x$, $b=2$.

Знаменатель равен нулю, когда $4^x=2$, то есть $2^{2x}=2^1$, откуда $x=\frac{1}{2}$. ОДЗ: $x\ne 0,5$.

Неравенство принимает вид

$$\frac{0,125^x-64}{{\left(4^x-2\right)}^2}⩽0.$$

При $x\ne 0,5$ знаменатель — квадрат ненулевого числа, поэтому он строго положителен. Дробь с положительным знаменателем неположительна тогда и только тогда, когда неположителен её числитель. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно

$$0,125^x-64⩽0.$$

Запишем обе части как степени двойки: $0,125=\frac{1}{8}=2^{-3}$, поэтому $0,125^x={\left(2^{-3}\right)}^x=2^{-3x}$, а $64=2^6$:

$$2^{-3x}⩽2^6.$$

Функция $y=2^u$ возрастает, так как основание $2>1$, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$$-3x⩽6.$$

Разделим на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$x⩾-2.$$

Учтём ОДЗ. Точка $x=0,5$ лежит в промежутке $[-2;+\infty )$, её нужно выколоть, а точка $x=-2$ входит в ответ, так как неравенство нестрогое:

Ответ: $[-2;0,5)\cup (0,5;+\infty )$.