ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель. По свойствам степени $4^x={\left(2^x\right)}^2$ и $2^{x+2,5}=2^{2,5}\cdot 2^x=2\cdot 2^{1,5}\cdot 2^x$, а $8=2^3={\left(2^{1,5}\right)}^2$. По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$4^x-2^{x+2,5}+8={\left(2^x\right)}^2-2\cdot 2^x\cdot 2^{1,5}+{\left(2^{1,5}\right)}^2={\left(2^x-2^{1,5}\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{0,2^x-125}{{\left(2^x-2^{1,5}\right)}^2}⩽0.$$

Знаменатель — квадрат, он неотрицателен и равным нулю быть не может. Значит, там, где дробь определена, знаменатель положителен и знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}0,2^x-125⩽0,\\ 2^x-2^{1,5}\ne 0.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Запишем $125$ как степень числа $0,2$: так как $0,2=\frac{1}{5}$, то $0,2^{-3}=5^3=125$. Тогда

$$0,2^x⩽0,2^{-3}.$$

Основание $0,2$ лежит между $0$ и $1$, поэтому функция $0,2^x$ убывает, и при переходе к показателям знак неравенства меняется:

$$x⩾-3.$$

Второе условие: $2^x\ne 2^{1,5}$. Показательная функция принимает каждое значение один раз, поэтому $x\ne 1,5$.

Объединим условия системы: $x⩾-3$ и $x\ne 1,5$.

Ответ: $[-3;1,5)\cup (1,5;+\infty )$.