ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Приведём все степени к $3^x$: $9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2$ и $2\cdot 3^{x+2}=2\cdot 9\cdot 3^x=18\cdot 3^x$. Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$1+\frac{14}{t-9}+\frac{48}{t^2-18t+81}⩾0.$$

Знаменатель второй дроби — полный квадрат: $t^2-2\cdot 9\cdot t+9^2=(t-9{)}^2$. Оба знаменателя не равны нулю при $t\ne 9$ (ОДЗ: $3^x\ne 9$, то есть $x\ne 2$).

Приведём левую часть к общему знаменателю $(t-9{)}^2$:

$$\frac{(t-9{)}^2+14(t-9)+48}{(t-9{)}^2}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $t^2-18t+81+14t-126+48=t^2-4t+3$. Корни этого трёхчлена по теореме Виета имеют сумму $4$ и произведение $3$ — это $1$ и $3$:

$$\frac{(t-1)(t-3)}{(t-9{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=1$ и $t=3$ закрашиваем, нуль знаменателя $t=9$ выкалываем. При $t>9$ дробь положительна. Через $9$ знак не меняется (квадрат), через $3$ и $1$ — меняется.

Учтём условие $t>0$:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}0<t⩽1,\\ t⩾3,\end{array}\\ t\ne 9.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа как степени тройки: $1=3^0$, $3=3^1$, $9=3^2$. Основание $3>1$, функция $3^x$ возрастает, знаки неравенств между показателями сохраняются, а неравенство $3^x>0$ верно всегда:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^0,\\ 3^x⩾3^1,\end{array}\\ 3^x\ne 3^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x⩽0,\\ x⩾1,\end{array}\\ x\ne 2.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;0]\cup [1;2)\cup (2;+\infty )$.