ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Приведём все степени к $2^x$ по свойствам $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$:

$$4^x={\left(2^x\right)}^2,2^{x+1}=2\cdot 2^x,4^{x+1}=4\cdot {\left(2^x\right)}^2,2^{x+5}=32\cdot 2^x.$$

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$. Знаменатели не равны нулю: $t\ne 5$ и $t\ne 8$ (ОДЗ: $x\ne {\log }_{2}5$, $x\ne 3$). Неравенство принимает вид

$$\frac{t^2+2t-36}{t-5}+\frac{4t^2-32t+4}{t-8}⩽5t+7.$$

Выделим целую часть первой дроби делением уголком:

Проверить результат легко: $(t-5)(t+7)=t^2+2t-35$, поэтому $t^2+2t-36=(t-5)(t+7)-1$ и

$$\frac{t^2+2t-36}{t-5}=t+7-\frac{1}{t-5}.$$

Так же выделим целую часть второй дроби:

Здесь $4t^2-32t+4=4t(t-8)+4$, поэтому

$$\frac{4t^2-32t+4}{t-8}=4t+\frac{4}{t-8}.$$

Подставим в неравенство:

$$t+7-\frac{1}{t-5}+4t+\frac{4}{t-8}⩽5t+7.$$

Слагаемые $t+7+4t=5t+7$ в левой части сокращаются с правой частью:

$$\frac{4}{t-8}-\frac{1}{t-5}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-8)(t-5)$:

$$\frac{4(t-5)-(t-8)}{(t-8)(t-5)}⩽0\iff \frac{3t-12}{(t-8)(t-5)}⩽0\iff \frac{3(t-4)}{(t-5)(t-8)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=4$ закрашиваем, нули знаменателя $t=5$ и $t=8$ выкалываем. При $t>8$ дробь положительна, знаки чередуются.

Получаем $t⩽4$ или $5<t<8$. Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽4,\\ 5<t<8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа как степени двойки: $4=2^2$, $8=2^3$, а по основному логарифмическому тождеству $5=2^{{\log }_{2}5}$. Основание $2>1$, функция $2^x$ возрастает, знаки неравенств между показателями сохраняются. Неравенство $2^x>0$ верно при всех $x$:

$$[\begin{array}{l}{2}^x⩽2^2,\\ 2^{{\log }_{2}5}<2^x<2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽2,\\ {\log }_{2}5<x<3.\end{array}$$

Точки $x={\log }_{2}5$ и $x=3$, исключённые ОДЗ, в ответ не входят.

Ответ: $(-\infty ;2]\cup ({\log }_{2}5;3)$.