ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}3-x>0,\\ x^2-6x+9>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<3,\\ (x-3{)}^2>0\end{array}\iff x<3.$$

Второе условие означает $x\ne 3$ и при $x<3$ выполняется автоматически.

ОДЗ: $x<3$.

Приведём оба логарифма к основанию $5$. Так как $625=5^4$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{625}(3-x)={\log }_{5^4}(3-x)=\frac{1}{4}{\log }_5(3-x).$$

Аргумент правой части — полный квадрат: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2=(3-x{)}^2$. На ОДЗ $3-x>0$, поэтому по свойству ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_5\left(x^2-6x+9\right)={\log }_5(3-x{)}^2=2{\log }_5(3-x).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{4}{\log }_5(3-x)-2{\log }_5(3-x)⩽0.$$

Вынесем ${\log }_5(3-x)$ за скобку и умножим обе части на $4>0$:

$${\log }_5(3-x)\cdot \left(x^2-8\right)⩽0.$$

Применим метод рационализации. Запишем ${\log }_5(3-x)={\log }_5(3-x)-{\log }_{5}1$; на ОДЗ эта разность имеет тот же знак, что и $(5-1)(3-x-1)=4(2-x)$. Положительный множитель $4$ отбросим. Второй множитель разложим по формуле разности квадратов: $x^2-8=\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)$. На ОДЗ неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}(2-x)\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)⩽0,\\ x<3.\end{array}$$

Умножим первое неравенство на $-1$, поменяв знак:

$$(x-2)\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)⩾0.$$

Расставим точки по порядку: $2\sqrt{2}=\sqrt{8}>\sqrt{4}=2$, поэтому $-2\sqrt{2}<2<2\sqrt{2}$. Все нули закрашиваем (неравенство нестрогое). При больших $x$ произведение положительно, множители в первой степени, знаки чередуются.

Получаем $x\in \left[-2\sqrt{2};2\right]\cup \left[2\sqrt{2};+\infty \right)$. Учтём условие $x<3$. Сравним $2\sqrt{2}$ и $3$: $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<\sqrt{9}=3$, значит, точка $3$ лежит правее $2\sqrt{2}$ и обрезает правый луч.

Ответ: $\left[-2\sqrt{2};2\right]\cup \left[2\sqrt{2};3\right)$.