ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем числитель. По свойствам степени

$$27^x={\left(3^x\right)}^3,3\cdot 9^{x+1}=3\cdot 9\cdot {\left(3^x\right)}^2=27{\left(3^x\right)}^2,3^{x+5}=3^5\cdot 3^x=243\cdot 3^x,729=9^3.$$

Сравним с формулой куба разности $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $a=3^x$, $b=9$: здесь $3a^{2}b=27{\left(3^x\right)}^2$, $3a{b}^2=243\cdot 3^x$, $b^3=729$. Значит,

$$27^x-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+5}-729={\left(3^x-9\right)}^3.$$

Преобразуем знаменатель, вынеся $0,5$ за скобку и свернув квадрат суммы $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$$50x^2+10x+0,5=0,5\left(100x^2+20x+1\right)=0,5(10x+1{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\left(3^x-9\right)}^3}{0,5(10x+1{)}^2}⩽0.$$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $10x+1\ne 0$, то есть $x\ne -0,1$.

Применим метод рационализации: разность $a^f-a^g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. Здесь $3^x-9=3^x-3^2$, основание $3>1$, поэтому $3^x-9$ имеет тот же знак, что и $x-2$. Куб не меняет знак числа, значит, ${\left(3^x-9\right)}^3$ имеет тот же знак, что и $(x-2{)}^3$, и обращается в нуль в той же точке. Положительный множитель $0,5$ на знак не влияет. Получаем

$$\frac{(x-2{)}^3}{(10x+1{)}^2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=2$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=-0,1$ выкалываем. При $x>2$ дробь положительна. Через точку $2$ знак меняется (нечётная степень), через $-0,1$ — нет (чётная степень).

Ответ: $(-\infty ;-0,1)\cup (-0,1;2]$.