ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен:

$$3^x-1>0\iff 3^x>3^0\iff x>0,$$

так как основание $3>1$ и функция $3^x$ возрастает.

На ОДЗ применим основное логарифмическое тождество $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$):

$$2^{{\log }_2(3^x-1)}=3^x-1.$$

Кроме того, $9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2$. Неравенство принимает вид

$$3^x-1+{\left(3^x\right)}^2-11⩽0\iff {\left(3^x\right)}^2+3^x-12⩽0.$$

Сделаем замену $t=3^x$. Условие ОДЗ $x>0$ означает $3^x>1$, то есть $t>1$:

$$t^2+t-12⩽0.$$

Найдём корни трёхчлена: $D=1^2-4\cdot (-12)=49$, $t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$, то есть $t_1=-4$, $t_2=3$. Значит,

$$(t+4)(t-3)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули $-4$ и $3$ закрашиваем (неравенство нестрогое).

Получаем $-4⩽t⩽3$. Учтём условие $t>1$:

$$1<t⩽3.$$

Сделаем обратную замену. Основание $3>1$, функция $3^x$ возрастает, поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются:

$$3^0<3^x⩽3^1\iff 0<x⩽1.$$

Ответ: $(0;1]$.