ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем знаменатель. По свойствам степени $16^x={\left(4^2\right)}^x={\left(4^x\right)}^2$ и $4^{x+2}=4^2\cdot 4^x=16\cdot 4^x=2\cdot 8\cdot 4^x$, а $64=8^2$. По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$16^x-4^{x+2}+64={\left(4^x\right)}^2-2\cdot 4^x\cdot 8+8^2={\left(4^x-8\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{0,25^x-4}{{\left(4^x-8\right)}^2}⩽0.$$

Знаменатель — квадрат, он неотрицателен, а равным нулю быть не может. Значит, там, где дробь определена, знаменатель положителен и знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}0,25^x-4⩽0,\\ 4^x-8\ne 0.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Запишем $4$ как степень числа $0,25$: $0,25^{-1}=\frac{1}{0,25}=4$. Тогда

$$0,25^x⩽0,25^{-1}.$$

Основание $0,25$ лежит между $0$ и $1$, поэтому функция $0,25^x$ убывает: большему значению функции соответствует меньший показатель. При переходе к показателям знак неравенства меняется:

$$x⩾-1.$$

Решим второе условие. Приведём обе части к основанию $2$: $4^x=2^{2x}$, $8=2^3$. Тогда

$$2^{2x}\ne 2^3\iff 2x\ne 3\iff x\ne \frac{3}{2}.$$

Объединим условия системы: $x⩾-1$ и $x\ne 1,5$.

Ответ: $[-1;1,5)\cup (1,5;+\infty )$.