ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $8x>0$ и $27x>0$, то есть $x>0$. Знаменатель не равен нулю: $x^2-|x|\ne 0$. При $x>0$ модуль раскрывается со знаком плюс, $|x|=x$, поэтому

$$x^2-|x|=x^2-x=x(x-1)\ne 0.$$

Так как $x>0$, остаётся условие $x\ne 1$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne 1$.

Запишем каждый логарифм как разность логарифмов с одинаковым основанием, используя ${\log }_{a}1=0$:

$$\frac{\left({\log }_2(8x)-{\log }_{2}1\right)\left({\log }_3(27x)-{\log }_{3}1\right)}{x(x-1)}⩽0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. Основания $2$ и $3$ больше $1$, множители $a-1$ положительны и на знак не влияют. Заменим ${\log }_2(8x)-{\log }_{2}1$ на $8x-1$, а ${\log }_3(27x)-{\log }_{3}1$ на $27x-1$. На ОДЗ неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{(8x-1)(27x-1)}{x(x-1)}⩽0,\\ x>0.\end{array}$$

При $x>0$ множитель $x$ в знаменателе положителен, на него можно домножить обе части, знак неравенства не изменится:

$$\frac{(8x-1)(27x-1)}{x-1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=\frac{1}{27}$ и $x=\frac{1}{8}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=1$ выкалываем. Порядок точек: $\frac{1}{27}<\frac{1}{8}<1$. При $x>1$ дробь положительна, все множители в первой степени, поэтому знаки чередуются.

Получаем $x⩽\frac{1}{27}$ или $\frac{1}{8}⩽x<1$. Учтём условие $x>0$: левый промежуток начинается с выколотой точки $0$.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{27}\right]\cup \left[\frac{1}{8};1\right)$.