ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем первую дробь, домножив её числитель и знаменатель на $9$. По свойству степени $9\cdot 9^{x-1}=9^x$:

$$\frac{9^{x-1}}{9^{x-1}-1}=\frac{9\cdot 9^{x-1}}{9\cdot 9^{x-1}-9}=\frac{9^x}{9^x-9}.$$

Кроме того, $81^x={\left(9^2\right)}^x={\left(9^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=9^x$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения:

$$\frac{t}{t-9}-\frac{5}{t-1}⩾\frac{36}{t^2-10t+9}.$$

Корни трёхчлена $t^2-10t+9$ по теореме Виета — $1$ и $9$, поэтому $t^2-10t+9=(t-1)(t-9)$. Знаменатели не равны нулю: $t\ne 1$ и $t\ne 9$ (это и есть ОДЗ: $x\ne 0$, $x\ne 1$).

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-1)(t-9)$:

$$\frac{t(t-1)-5(t-9)-36}{(t-1)(t-9)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $t^2-t-5t+45-36=t^2-6t+9$. Это полный квадрат $(t-3{)}^2$:

$$\frac{(t-3{)}^2}{(t-1)(t-9)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем, нули знаменателя $t=1$ и $t=9$ выкалываем. При $t>9$ дробь положительна; через $9$ и $1$ знак меняется, через $3$ — нет (чётная степень), но в точке $3$ дробь равна нулю, и она подходит.

Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<1,\\ t=3,\\ t>9.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Основание $9>1$, функция $9^x$ возрастает, поэтому знак неравенства между показателями сохраняется. Запишем числа как степени девятки: $1=9^0$, $3=\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}$, $9=9^1$.

$$[\begin{array}{l}0<9^x<9^0,\\ 9^x=9^{\frac{1}{2}},\\ 9^x>9^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0,\\ x=\frac{1}{2},\\ x>1.\end{array}$$

Точки $x=0$ и $x=1$, исключённые ОДЗ, в ответ не попали.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup (1;+\infty )$.