ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}2x+22>0,\\ x+7>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-11,\\ x>-7\end{array}\iff x>-7.$$

Кроме того, знаменатель не должен равняться нулю — это условие учтём ниже, при рационализации.

Числитель разложим на множители, дважды применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^4-81=\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)=(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right).$$

Множитель $x^2+9⩾9>0$ при всех $x$, поэтому на него можно разделить обе части, знак неравенства не изменится:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{{\log }_3(2x+22)-{\log }_{\sqrt{3}}(x+7)}⩾0.$$

Приведём второй логарифм к основанию $3$. По свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$):

$${\log }_{\sqrt{3}}(x+7)={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}(x+7)=2{\log }_3(x+7)={\log }_3(x+7{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x-3)(x+3)}{{\log }_3(2x+22)-{\log }_3(x+7{)}^2}⩾0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что $(a-1)(f-g)$, и обращается в нуль ровно тогда, когда $f=g$. Основание $3>1$, множитель $a-1=2>0$ на знак не влияет. Заменим знаменатель на $(2x+22)-(x+7{)}^2$:

$$(2x+22)-(x+7{)}^2=2x+22-x^2-14x-49=-x^2-12x-27=-\left(x^2+12x+27\right).$$

Корни трёхчлена $x^2+12x+27$ по теореме Виета имеют сумму $-12$ и произведение $27$ — это $-9$ и $-3$. Значит, $x^2+12x+27=(x+3)(x+9)$, и на ОДЗ неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{(x-3)(x+3)}{-(x+3)(x+9)}⩾0,\\ x>-7.\end{array}$$

Умножим первое неравенство на $-1$, поменяв знак неравенства:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x+9)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=3$ закрашиваем. Нули знаменателя $x=-9$ и $x=-3$ выкалываем; точка $-3$ — нуль и числителя, и знаменателя, при $x=-3$ исходный знаменатель равен нулю, поэтому её выкалываем. При $x>3$ дробь положительна. Через $3$ и $-9$ знак меняется, через $-3$ — нет, потому что множитель $x+3$ входит дважды.

Получаем $x\in (-9;-3)\cup (-3;3]$. Пересечём с условием $x>-7$: точка $-7$ лежит между $-9$ и $-3$, поэтому левый промежуток укорачивается до $(-7;-3)$.

Ответ: $(-7;-3)\cup (-3;3]$.