ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne -6$ и $x\ne -2$.

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(x+3{)}^2-9=(x+3{)}^2-3^2=(x+3-3)(x+3+3)=x(x+6).$$

На ОДЗ $x+6\ne 0$, поэтому дробь можно сократить: $\frac{x(x+6)}{x+6}=x$. Условие $x\ne -6$ при этом сохраняем. Неравенство принимает вид

$$x+\frac{36}{x+2}⩽10.$$

Перенесём $10$ в левую часть и приведём к общему знаменателю $x+2$:

$$\frac{x(x+2)+36-10(x+2)}{x+2}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе: $x^2+2x+36-10x-20=x^2-8x+16$. Это полный квадрат: $x^2-2\cdot 4\cdot x+4^2=(x-4{)}^2$. Получаем

$$\frac{(x-4{)}^2}{x+2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=4$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=-2$ выкалываем. Числитель неотрицателен, поэтому знак дроби определяется знаменателем: при $x>-2$ дробь неотрицательна, при $x<-2$ — отрицательна. Через точку $4$ знак не меняется, но в ней дробь равна нулю, и эта точка подходит.

Получаем $x<-2$ или $x=4$. Учтём ОДЗ: из промежутка $(-\infty ;-2)$ нужно выколоть точку $x=-6$.

Ответ: $(-\infty ;-6)\cup (-6;-2)\cup \{4\}$.