ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен: $x-1,5>0$, то есть $x>\frac{3}{2}$. Знаменатель не равен нулю: $2^x\ne 3$, то есть $x\ne {\log }_{2}3$.

Числитель разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$${\log }_3^2(x-1,5)-1=({\log }_3(x-1,5)-1)({\log }_3(x-1,5)+1).$$

Чтобы применить метод рационализации, запишем каждую скобку как разность логарифмов с одинаковым основанием: $1={\log }_{3}3$ и $-1={\log }_3\frac{1}{3}$. Знаменатель запишем как разность степеней с основанием $2$, используя основное логарифмическое тождество $3=2^{{\log }_{2}3}$:

$$\frac{\left({\log }_3(x-1,5)-{\log }_{3}3\right)\left({\log }_3(x-1,5)-{\log }_3\frac{1}{3}\right)}{2^x-2^{{\log }_{2}3}}⩽0.$$

Метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что $(a-1)(f-g)$, а разность $a^f-a^g$ — тот же знак, что $(a-1)(f-g)$. Основания $3$ и $2$ больше $1$, множители $a-1$ положительны и на знак не влияют. Заменим каждый множитель:

${\log }_3(x-1,5)-{\log }_{3}3$ — на $x-1,5-3=x-\frac{9}{2}$;

${\log }_3(x-1,5)-{\log }_3\frac{1}{3}$ — на $x-1,5-\frac{1}{3}=x-\frac{11}{6}$;

$2^x-2^{{\log }_{2}3}$ — на $x-{\log }_{2}3$.

На ОДЗ неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x-\frac{11}{6}\right)}{x-{\log }_{2}3}⩽0,\\ x>\frac{3}{2}.\end{array}$$

Чтобы расставить точки на прямой, сравним ${\log }_{2}3$ с $\frac{11}{6}$ и с $\frac{3}{2}$. Так как $2<3<4$, то $1<{\log }_{2}3<2$.

Сравним ${\log }_{2}3$ и $\frac{11}{6}$, умножив оба числа на $6$: $6{\log }_{2}3={\log }_2{3}^6={\log }_{2}729$, а $11={\log }_2{2}^{11}={\log }_{2}2048$. Функция ${\log }_{2}t$ возрастает и $729<2048$, значит, ${\log }_{2}3<\frac{11}{6}$.

Сравним ${\log }_{2}3$ и $\frac{3}{2}$, умножив оба числа на $2$: $2{\log }_{2}3={\log }_{2}9$, а $3={\log }_{2}8$. Так как $9>8$, то ${\log }_{2}3>\frac{3}{2}$.

Итак, $\frac{3}{2}<{\log }_{2}3<\frac{11}{6}<\frac{9}{2}$.

Решим первое неравенство системы методом интервалов. Нули числителя $\frac{11}{6}$ и $\frac{9}{2}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя ${\log }_{2}3$ выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, все множители в первой степени, поэтому знаки чередуются.

Получаем $x<{\log }_{2}3$ или $\frac{11}{6}⩽x⩽\frac{9}{2}$. Учтём условие $x>\frac{3}{2}$:

Ответ: $\left(\frac{3}{2};{\log }_{2}3\right)\cup \left[\frac{11}{6};\frac{9}{2}\right]$.