ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Приведём все степени к $9^x$. По свойствам степени $9^{x+1}=9\cdot 9^x$ и $81^x={\left(9^2\right)}^x={\left(9^x\right)}^2$. Тогда числитель равен $9\cdot 9^x+9^x+54=10\cdot 9^x+54$, и неравенство принимает вид

$$\frac{10\cdot 9^x+54}{{\left(9^x\right)}^2-28\cdot 9^x+27}⩾-1.$$

Сделаем замену $t=9^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$\frac{10t+54}{t^2-28t+27}⩾-1.$$

Перенесём $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{10t+54+t^2-28t+27}{t^2-28t+27}⩾0\iff \frac{t^2-18t+81}{t^2-28t+27}⩾0.$$

Числитель — полный квадрат: $t^2-2\cdot 9\cdot t+9^2=(t-9{)}^2$. Корни знаменателя по теореме Виета имеют сумму $28$ и произведение $27$ — это $1$ и $27$, поэтому $t^2-28t+27=(t-1)(t-27)$:

$$\frac{(t-9{)}^2}{(t-1)(t-27)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=9$ закрашиваем, нули знаменателя $t=1$ и $t=27$ выкалываем. При $t>27$ дробь положительна; через $27$ и $1$ знак меняется, через $9$ — нет (чётная степень), но сама точка $9$ подходит, в ней дробь равна нулю.

Учтём условие $t>0$:

$$t\in (0;1)\cup \{9\}\cup (27;+\infty ).$$

Сделаем обратную замену. Основание $9>1$, функция $9^x$ возрастает, поэтому при сравнении показателей знак сохраняется.

1. $0<9^x<1$. Левое неравенство верно всегда, правое: $9^x<9^0$, откуда $x<0$.

2. $9^x=9$, откуда $x=1$.

3. $9^x>27$. Запишем $27$ как степень девятки: $27=3^3={\left(3^2\right)}^{\frac{3}{2}}=9^{\frac{3}{2}}$. Тогда $9^x>9^{\frac{3}{2}}$, откуда $x>\frac{3}{2}$.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \{1\}\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.