ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов $x$, $\frac{x}{64}$ и $x^2$ должны быть положительными, это даёт $x>0$. Знаменатели не должны обращаться в нуль:

${\log }_{8}x\ne 0$, то есть $x\ne 1$;

${\log }_8\frac{x}{64}\ne 0$, то есть $\frac{x}{64}\ne 1$, $x\ne 64$;

${\log }_8^{2}x-{\log }_8{x}^2\ne 0$. При $x>0$ по свойству ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ имеем ${\log }_8{x}^2=2{\log }_{8}x$, поэтому условие принимает вид ${\log }_{8}x\cdot ({\log }_{8}x-2)\ne 0$, то есть $x\ne 1$ и $x\ne 8^2=64$ — те же точки.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne 64$.

Выразим все логарифмы через ${\log }_{8}x$. По свойству логарифма частного ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_8\frac{x}{64}={\log }_{8}x-{\log }_{8}64={\log }_{8}x-2.$$

Сделаем замену $t={\log }_{8}x$. Условия $x\ne 1$ и $x\ne 64$ превращаются в $t\ne 0$ и $t\ne 2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t}{t-2}⩾\frac{2}{t}+\frac{3}{t^2-2t}.$$

Заметим, что $t^2-2t=t(t-2)$. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $t(t-2)$:

$$\frac{t\cdot t-2(t-2)-3}{t(t-2)}⩾0\iff \frac{t^2-2t+1}{t(t-2)}⩾0.$$

Числитель — полный квадрат: $t^2-2t+1=(t-1{)}^2$. Получаем

$$\frac{(t-1{)}^2}{t(t-2)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=0$ и $t=2$ выкалываем. При $t>2$ дробь положительна. Через точки $2$ и $0$ знак меняется, а через $1$ — нет, потому что множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени. В самой точке $t=1$ дробь равна нулю, и эта точка подходит.

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t<0,\\ t=1,\\ t>2.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа как логарифмы по основанию $8$: $0={\log }_{8}1$, $1={\log }_{8}8$, $2={\log }_{8}64$. Основание $8>1$, поэтому функция ${\log }_{8}x$ возрастает и знак неравенства между аргументами сохраняется:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{8}x<{\log }_{8}1,\\ {\log }_{8}x={\log }_{8}8,\\ {\log }_{8}x>{\log }_{8}64\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=8,\\ x>64.\end{array}$$

Условие $x>0$ мы учли в первой строке, точки $1$ и $64$ в ответ не попали — все найденные значения лежат в ОДЗ.

Ответ: $(0;1)\cup \{8\}\cup (64;+\infty )$.