ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов ${\log }_6(6-x)$, ${\log }_{26}(x+26)$ и ${\log }_6\left(x^2-5x\right)$ должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}6-x>0,\\ x+26>0,\\ x^2-5x>0.\end{array}$$

Аргумент логарифма по основанию $2$ — сумма двух степеней с положительными основаниями, он положителен всегда и нового условия не даёт.

Первые два неравенства дают $-26<x<6$. Третье запишем как $x(x-5)>0$ и решим методом интервалов: нули $0$ и $5$ выкалываем, так как неравенство строгое, правее $5$ произведение положительно.

Получаем $x<0$ или $x>5$. Пересечём с интервалом $(-26;6)$:

ОДЗ: $x\in (-26;0)\cup (5;6)$.

Решим неравенство на ОДЗ. По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$):

$$6^{{\log }_6(6-x)}=6-x,26^{{\log }_{26}(x+26)}=x+26.$$

Их сумма $(6-x)+(x+26)=32$ не зависит от $x$, и ${\log }_{2}32=5$, так как $2^5=32$. Левая часть неравенства равна $5-3=2$:

$$2⩾{\log }_6\left(x^2-5x\right).$$

Запишем число $2$ как логарифм по основанию $6$: $2={\log }_{6}36$. Получаем

$${\log }_6\left(x^2-5x\right)⩽{\log }_{6}36.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(f-g)$. Здесь $a=6$, множитель $a-1=5>0$ на знак не влияет, поэтому

$$x^2-5x-36⩽0.$$

Разложим трёхчлен на множители. По теореме Виета его корни имеют сумму $5$ и произведение $-36$ — это $9$ и $-4$:

$$(x-9)(x+4)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули $-4$ и $9$ закрашиваем (неравенство нестрогое).

Получаем $x\in [-4;9]$. Пересечём это множество с ОДЗ $(-26;0)\cup (5;6)$: от первого промежутка остаётся $[-4;0)$, второй промежуток $(5;6)$ целиком лежит в $[-4;9]$.

Ответ: $[-4;0)\cup (5;6)$.