ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>0,\\ 2x^2-10x+12,5>0.\end{array}$$

Первое условие означает, что $x\ne 0$. Во втором условии умножим обе части на $2$ и заметим полный квадрат по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$4x^2-20x+25=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x-5{)}^2>0.$$

Квадрат положителен везде, кроме точки, где выражение под квадратом равно нулю, то есть $x\ne \frac{5}{2}$.

ОДЗ: $x\ne 0$, $x\ne 2,5$.

Оценим знаменатель. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому

$${\log }_6^2\left(2x^2-10x+12,5\right)+1⩾1>0.$$

Знаменатель положителен при всех $x$ из ОДЗ, значит, знак дроби совпадает со знаком числителя. На ОДЗ неравенство равносильно такому:

$${\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2⩽0.$$

Приведём второй логарифм к основанию $2$ по формуле перехода ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$:

$${\log }_3{x}^2=\frac{{\log }_2{x}^2}{{\log }_{2}3}.$$

Подставим и вынесем общий множитель ${\log }_2{x}^2$ за скобку:

$$\left(1-\frac{1}{{\log }_{2}3}\right){\log }_2{x}^2⩽0.$$

Определим знак скобки. Основание $2>1$, поэтому функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, и ${\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$. Тогда $0<\frac{1}{{\log }_{2}3}<1$, и скобка $1-\frac{1}{{\log }_{2}3}$ положительна. Разделим обе части на это положительное число — знак неравенства сохранится:

$${\log }_2{x}^2⩽0\iff {\log }_2{x}^2⩽{\log }_{2}1.$$

Функция ${\log }_{2}t$ возрастает, поэтому аргументы связаны тем же знаком (условие $x^2>0$ уже учтено в ОДЗ):

$$x^2⩽1\iff x^2-1⩽0.$$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(x-1)(x+1)⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули $x=-1$ и $x=1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Правее $1$ произведение положительно, дальше знаки чередуются.

Получаем $x\in [-1;1]$.

Учтём ОДЗ: точку $x=0$ нужно выколоть, а точка $x=2,5$ в отрезок не попадает.

Ответ: $[-1;0)\cup (0;1]$.