ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=7^x$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. По свойству степени $49^x={\left(7^x\right)}^2=t^2$, а по формуле разности квадратов $t^2-49=(t-7)(t+7)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t+7}{t-7}+\frac{t-7}{t+7}⩾\frac{4t+96}{(t-7)(t+7)}.$$

ОДЗ: $t\ne 7$ (условие $t\ne -7$ выполнено, так как $t>0$). В переменной $x$: $7^x\ne 7^1$, то есть $x\ne 1$.

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю $(t-7)(t+7)$:

$$\frac{(t+7{)}^2+(t-7{)}^2-(4t+96)}{(t-7)(t+7)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$$t^2+14t+49+t^2-14t+49-4t-96=2t^2-4t+2=2\left(t^2-2t+1\right)=2(t-1{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{2(t-1{)}^2}{(t-7)(t+7)}⩾0.$$

Так как $t>0$, множитель $t+7$ положителен. Умножим обе части на положительное число $\frac{t+7}{2}$ — знак неравенства не изменится:

$$\frac{(t-1{)}^2}{t-7}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $t=7$ выкалываем. Справа от $7$ дробь положительна; через $7$ знак меняется, через $1$ — нет, так как $(t-1{)}^2$ — квадрат:

Дробь неотрицательна при $t>7$ и в точке $t=1$, где она равна нулю. Оба значения положительны, так что условие $t>0$ выполнено:

$$[\begin{array}{l}t=1,\\ t>7.\end{array}$$

Сделаем обратную замену, записав $1=7^0$ и $7=7^1$:

$$[\begin{array}{l}{7}^x=7^0,\\ 7^x>7^1.\end{array}$$

Основание $7>1$, функция $y=7^x$ возрастает, поэтому равенство и неравенство между степенями равносильны таким же соотношениям между показателями:

$$[\begin{array}{l}x=0,\\ x>1.\end{array}$$

Точка $x=1$ не входит в ответ, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $\{0\}\cup (1;+\infty )$.