ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-3x>0,\\ x^2>0,\\ {\log }_8{x}^2\ne 0.\end{array}$$

Первое неравенство: $x(x-3)>0$. Произведение положительно вне промежутка между корнями $0$ и $3$:

Получаем $x<0$ или $x>3$. Второе условие означает $x\ne 0$ и уже выполнено. Третье: логарифм равен нулю, только когда аргумент равен единице, поэтому $x^2\ne 1$, то есть $x\ne \pm 1$. Точка $x=1$ и так не входит, а $x=-1$ нужно выколоть. ОДЗ:

$$x\in (-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (3;+\infty ).$$

Решим неравенство на ОДЗ. Перенесём $1$ влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2{\log }_8\left(x^2-3x\right)-{\log }_8{x}^2}{{\log }_8{x}^2}⩽0.$$

На ОДЗ $x^2-3x>0$, поэтому по свойству логарифма степени $2{\log }_8\left(x^2-3x\right)={\log }_8{\left(x^2-3x\right)}^2$. Кроме того, ${\log }_8{x}^2={\log }_8{x}^2-{\log }_{8}1$, так как ${\log }_{8}1=0$:

$$\frac{{\log }_8{\left(x^2-3x\right)}^2-{\log }_8{x}^2}{{\log }_8{x}^2-{\log }_{8}1}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Основание $8>1$, функция $y={\log }_{8}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ разность ${\log }_{8}f-{\log }_{8}g$ имеет тот же знак, что и $f-g$, и обращается в нуль там же. Заменим так числитель и знаменатель:

$$\frac{{\left(x^2-3x\right)}^2-x^2}{x^2-1}⩽0.$$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$${\left(x^2-3x\right)}^2-x^2=\left(x^2-3x-x\right)\left(x^2-3x+x\right)=\left(x^2-4x\right)\left(x^2-2x\right)=x^2(x-2)(x-4).$$

Знаменатель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+1)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=0$, $x=2$, $x=4$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=\pm 1$ выкалываем. Справа от $4$ дробь положительна. Через $4$, $2$, $1$, $-1$ знак меняется, а через $0$ — нет, так как множитель $x^2$ стоит в чётной степени:

Получаем $x\in (-1;1)\cup [2;4]$.

Пересечём с ОДЗ. Из промежутка $(-1;1)$ в ОДЗ попадает только $(-1;0)$: точка $0$ и правее неё до $3$ не входят. Из отрезка $[2;4]$ остаётся $(3;4]$:

Ответ: $(-1;0)\cup (3;4]$.