ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Под знаками логарифмов должны стоять положительные числа: $x>0$, $25x>0$, $x^4>0$ — всё это выполнено при $x>0$. Знаменатели не должны обращаться в нуль — это условие запишем после замены.

Сделаем замену $t={\log }_{5}x$. Выразим остальные логарифмы через $t$. По свойству логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$:

$${\log }_5(25x)={\log }_{5}25+{\log }_{5}x=2+t.$$

По свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$, а у нас $x>0$):

$${\log }_5{x}^4=4{\log }_{5}x=4t.$$

Знаменатель правой части: ${\log }_5^{2}x-4=t^2-4=(t-2)(t+2)$ по формуле разности квадратов.

Неравенство принимает вид

$$\frac{t+2}{t-2}+\frac{t-2}{t+2}⩾\frac{6-4t}{(t-2)(t+2)}.$$

Знаменатели не равны нулю: $t\ne 2$ и $t\ne -2$, то есть $x\ne 25$ и $x\ne \frac{1}{25}$.

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю $(t-2)(t+2)$:

$$\frac{(t+2{)}^2+(t-2{)}^2-(6-4t)}{(t-2)(t+2)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$$t^2+4t+4+t^2-4t+4-6+4t=2t^2+4t+2=2\left(t^2+2t+1\right)=2(t+1{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{2(t+1{)}^2}{(t-2)(t+2)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=-1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=\pm 2$ выкалываем. Справа от $2$ дробь положительна. Через $2$ и $-2$ знак меняется, а через $-1$ — нет, так как $(t+1{)}^2$ — квадрат:

Дробь неотрицательна при $t<-2$, при $t>2$ и в точке $t=-1$, где она равна нулю:

$$[\begin{array}{l}t<-2,\\ t=-1,\\ t>2.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа в виде логарифмов по основанию $5$: $-2={\log }_5\frac{1}{25}$, $-1={\log }_5\frac{1}{5}$, $2={\log }_{5}25$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{5}x<{\log }_5\frac{1}{25},\\ {\log }_{5}x={\log }_5\frac{1}{5},\\ {\log }_{5}x>{\log }_{5}25.\end{array}$$

Основание $5>1$, функция $y={\log }_{5}x$ возрастает, поэтому неравенства между логарифмами равносильны таким же неравенствам между аргументами. С учётом ОДЗ $x>0$ получаем

$$[\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{25},\\ x=\frac{1}{5},\\ x>25.\end{array}$$

Ответ: $\left(0;\frac{1}{25}\right)\cup \left\{\frac{1}{5}\right\}\cup (25;+\infty )$.