ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=5^x$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. По свойствам степени

$$25^x={\left(5^2\right)}^x={\left(5^x\right)}^2=t^2,5^{x+2}=25\cdot 5^x=25t.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{t^2-25t+26}{t-1}+\frac{t^2-7t+1}{t-7}⩽2t-24.$$

ОДЗ: $t\ne 1$ и $t\ne 7$. В переменной $x$: $5^x\ne 5^0$ и $5^x\ne 7$, то есть $x\ne 0$ и $x\ne {\log }_{5}7$.

Выделим у каждой дроби целую часть. Так как $(t-1)(t-24)=t^2-25t+24$, то $t^2-25t+26=(t-1)(t-24)+2$, и

$$\frac{t^2-25t+26}{t-1}=\frac{(t-1)(t-24)+2}{t-1}=t-24+\frac{2}{t-1}.$$

Аналогично $t^2-7t+1=t(t-7)+1$, поэтому

$$\frac{t^2-7t+1}{t-7}=\frac{t(t-7)+1}{t-7}=t+\frac{1}{t-7}.$$

Сумма дробей в левой части равна $2t-24+\frac{2}{t-1}+\frac{1}{t-7}$, и неравенство принимает вид

$$2t-24+\frac{2}{t-1}+\frac{1}{t-7}⩽2t-24.$$

Перенесём всё влево — слагаемые $2t-24$ сократятся — и приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2}{t-1}+\frac{1}{t-7}⩽0⟺\frac{2(t-7)+(t-1)}{(t-1)(t-7)}⩽0⟺\frac{3t-15}{(t-1)(t-7)}⩽0.$$

Вынесем $3$ из числителя и разделим на это положительное число — знак неравенства не изменится:

$$\frac{t-5}{(t-1)(t-7)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=5$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=1$ и $t=7$ выкалываем. Справа от $7$ дробь положительна, через каждую точку знак меняется:

Получаем $t<1$ или $5⩽t<7$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<1,\\ 5⩽t<7.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа в виде степеней пятёрки: $1=5^0$, $5=5^1$, $7=5^{{\log }_{5}7}$:

$$[\begin{array}{l}{5}^x<5^0,\\ 5^1⩽5^x<5^{{\log }_{5}7}.\end{array}$$

Основание $5>1$, функция $y=5^x$ возрастает, поэтому неравенства между степенями равносильны таким же неравенствам между показателями:

$$[\begin{array}{l}x<0,\\ 1⩽x<{\log }_{5}7.\end{array}$$

Так как $7>5$, то ${\log }_{5}7>1$, и второй промежуток непустой. Точки $x=0$ и $x={\log }_{5}7$ выколоты, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $(-\infty ;0)\cup [1;{\log }_{5}7)$.