ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$. По свойству степени $4^x={\left(2^x\right)}^2=t^2$, а $0,25=\frac{1}{4}$. Неравенство принимает вид

$$\frac{31-5t}{t^2-24t+128}⩾\frac{1}{4}.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-24t+128$ — числа $8$ и $16$ (их сумма $24$, произведение $128$), поэтому $t^2-24t+128=(t-8)(t-16)$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $2^x\ne 2^3$ и $2^x\ne 2^4$, откуда $x\ne 3$ и $x\ne 4$.

Перенесём $\frac{1}{4}$ влево и приведём к общему знаменателю $4(t-8)(t-16)$:

$$\frac{4(31-5t)-\left(t^2-24t+128\right)}{4(t-8)(t-16)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$124-20t-t^2+24t-128=-t^2+4t-4=-\left(t^2-4t+4\right)=-(t-2{)}^2.$$

Здесь мы применили формулу квадрата разности. Неравенство принимает вид

$$\frac{-(t-2{)}^2}{4(t-8)(t-16)}⩾0.$$

Умножим обе части на $-4$ — знак неравенства поменяется на противоположный:

$$\frac{(t-2{)}^2}{(t-8)(t-16)}⩽0.$$

Вернёмся к переменной $x$, записав числа как степени двойки:

$$\frac{{\left(2^x-2^1\right)}^2}{\left(2^x-2^3\right)\left(2^x-2^4\right)}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Основание $2>1$, функция $y=2^x$ возрастает, поэтому разность $2^x-2^a$ имеет тот же знак, что и $x-a$, и обращается в нуль там же. Заменим каждую такую разность:

$$\frac{(x-1{)}^2}{(x-3)(x-4)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=3$ и $x=4$ выкалываем. Справа от $4$ дробь положительна. Через $4$ и $3$ знак меняется, а через $1$ — нет, так как $(x-1{)}^2$ — квадрат:

Дробь неположительна на интервале $(3;4)$, где она отрицательна, и в точке $x=1$, где она равна нулю. Точки $3$ и $4$ выколоты, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $\{1\}\cup (3;4)$.