ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=4^x$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. По свойствам степени

$$16^x={\left(4^2\right)}^x={\left(4^x\right)}^2=t^2,2\cdot 4^{x+1}=2\cdot 4\cdot 4^x=8t.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{t^2-8t+13}{t-2}+\frac{8t-31}{t-4}⩽t+2.$$

ОДЗ: $t\ne 2$ и $t\ne 4$. В переменной $x$: $4^x\ne 4^{\frac{1}{2}}$ и $4^x\ne 4^1$, то есть $x\ne \frac{1}{2}$ и $x\ne 1$.

Выделим у каждой дроби целую часть. В числителе первой дроби выделим полный квадрат по $t-2$: так как $(t-2{)}^2=t^2-4t+4$, то

$$t^2-8t+13=(t^2-4t+4)-4t+9=(t-2{)}^2-4(t-2)+1.$$

Поделим почленно на $t-2$:

$$\frac{t^2-8t+13}{t-2}=\frac{(t-2{)}^2-4(t-2)+1}{t-2}=t-2-4+\frac{1}{t-2}=t-6+\frac{1}{t-2}.$$

Числитель второй дроби запишем как $8t-31=8(t-4)+1$:

$$\frac{8t-31}{t-4}=\frac{8(t-4)+1}{t-4}=8+\frac{1}{t-4}.$$

Сумма дробей в левой части равна

$$t-6+\frac{1}{t-2}+8+\frac{1}{t-4}=t+2+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-4}.$$

Неравенство принимает вид

$$t+2+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-4}⩽t+2.$$

Вычтем $t+2$ из обеих частей и приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-4}⩽0⟺\frac{(t-4)+(t-2)}{(t-2)(t-4)}⩽0⟺\frac{2(t-3)}{(t-2)(t-4)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=2$ и $t=4$ выкалываем. Справа от $4$ дробь положительна, через каждую точку знак меняется:

Получаем $t<2$ или $3⩽t<4$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<2,\\ 3⩽t<4.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа в виде степеней четвёрки: $2=\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$, $3=4^{{\log }_{4}3}$, $4=4^1$:

$$[\begin{array}{l}{4}^x<4^{\frac{1}{2}},\\ 4^{{\log }_{4}3}⩽4^x<4^1.\end{array}$$

Основание $4>1$, функция $y=4^x$ возрастает, поэтому неравенства между степенями равносильны таким же неравенствам между показателями:

$$[\begin{array}{l}x<\frac{1}{2},\\ {\log }_{4}3⩽x<1.\end{array}$$

Так как $2<3<4$, то $\frac{1}{2}={\log }_{4}2<{\log }_{4}3<1$, и промежутки не пересекаются. Точки $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$ выколоты, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup [{\log }_{4}3;1)$.