ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=11^x$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. По свойству степени $121^x={\left(11^2\right)}^x={\left(11^x\right)}^2=t^2$. Неравенство принимает вид

$$t-6-\frac{24t-244}{t^2-16t+60}⩽\frac{1}{t-10}.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-16t+60$ — числа $6$ и $10$ (их сумма $16$, произведение $60$), поэтому $t^2-16t+60=(t-6)(t-10)$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $t\ne 6$ и $t\ne 10$. В переменной $x$: $11^x\ne 6$ и $11^x\ne 10$, то есть $x\ne {\log }_{11}6$ и $x\ne {\log }_{11}10$.

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-6)(t-10)$:

$$\frac{(t-6{)}^2(t-10)-(24t-244)-(t-6)}{(t-6)(t-10)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе. Сначала

$$(t-6{)}^2(t-10)=\left(t^2-12t+36\right)(t-10)=t^3-10t^2-12t^2+120t+36t-360=t^3-22t^2+156t-360.$$

Затем вычтем остальные слагаемые:

$$t^3-22t^2+156t-360-24t+244-t+6=t^3-22t^2+131t-110.$$

Разложим многочлен на множители. Сумма коэффициентов $1-22+131-110=0$, значит, $t=1$ — корень, и многочлен делится на $t-1$:

$$t^3-22t^2+131t-110=(t-1)\left(t^2-21t+110\right).$$

Проверим: $(t-1)\left(t^2-21t+110\right)=t^3-21t^2+110t-t^2+21t-110=t^3-22t^2+131t-110$. По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-21t+110$ — числа $10$ и $11$ (их сумма $21$, произведение $110$). Значит,

$$t^3-22t^2+131t-110=(t-1)(t-10)(t-11).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(t-1)(t-10)(t-11)}{(t-6)(t-10)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=1$ и $t=11$ закрашиваем (неравенство нестрогое). Точки $t=6$ и $t=10$ выкалываем: в них знаменатель равен нулю. Справа от $11$ дробь положительна. Через $1$, $6$ и $11$ знак меняется, а через $10$ — нет: множитель $t-10$ стоит и в числителе, и в знаменателе:

Получаем $t⩽1$, или $6<t<10$, или $10<t⩽11$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽1,\\ 6<t<10,\\ 10<t⩽11.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа в виде степеней числа $11$: $1=11^0$, $6=11^{{\log }_{11}6}$, $10=11^{{\log }_{11}10}$, $11=11^1$:

$$[\begin{array}{l}11^x⩽11^0,\\ 11^{{\log }_{11}6}<11^x<11^{{\log }_{11}10},\\ 11^{{\log }_{11}10}<11^x⩽11^1.\end{array}$$

Основание $11>1$, функция $y=11^x$ возрастает, поэтому неравенства между степенями равносильны таким же неравенствам между показателями:

$$[\begin{array}{l}x⩽0,\\ {\log }_{11}6<x<{\log }_{11}10,\\ {\log }_{11}10<x⩽1.\end{array}$$

Так как $1<6<10<11$, то $0<{\log }_{11}6<{\log }_{11}10<1$, и промежутки идут именно в таком порядке. Точки, исключённые ОДЗ, уже выколоты.

Ответ: $(-\infty ;0]\cup ({\log }_{11}6;{\log }_{11}10)\cup ({\log }_{11}10;1]$.