ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. По свойствам степени

$$2^{x+2}=4\cdot 2^x=4t,4^x={\left(2^x\right)}^2=t^2,3\cdot 2^{x+2}=12t.$$

Неравенство принимает вид

$$t+\frac{4t}{t-4}+\frac{t^2+7t+20}{t^2-12t+32}⩽1.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-12t+32$ — числа $4$ и $8$ (их сумма $12$, произведение $32$), поэтому $t^2-12t+32=(t-4)(t-8)$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $t\ne 4$ и $t\ne 8$. В переменной $x$ это $2^x\ne 2^2$ и $2^x\ne 2^3$, то есть $x\ne 2$ и $x\ne 3$.

Перенесём $1$ влево и приведём всё к общему знаменателю $(t-4)(t-8)$:

$$\frac{t(t-4)(t-8)+4t(t-8)+t^2+7t+20-(t-4)(t-8)}{(t-4)(t-8)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе по отдельности:

$$t(t-4)(t-8)=t\left(t^2-12t+32\right)=t^3-12t^2+32t,$$

$$4t(t-8)=4t^2-32t,-(t-4)(t-8)=-t^2+12t-32.$$

Сложим все слагаемые числителя, группируя подобные:

$$t^3+(-12+4+1-1)t^2+(32-32+7+12)t+(20-32)=t^3-8t^2+19t-12.$$

Разложим многочлен $t^3-8t^2+19t-12$ на множители. Сумма его коэффициентов $1-8+19-12=0$, значит, $t=1$ — корень, и многочлен делится на $t-1$. Разделив столбиком (или подбором коэффициентов), получаем

$$t^3-8t^2+19t-12=(t-1)\left(t^2-7t+12\right).$$

Проверим: $(t-1)\left(t^2-7t+12\right)=t^3-7t^2+12t-t^2+7t-12=t^3-8t^2+19t-12$. По теореме Виета $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{(t-1)(t-3)(t-4)}{(t-4)(t-8)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=1$ и $t=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое). Точку $t=4$ выкалываем: в ней знаменатель равен нулю. Точку $t=8$ тоже выкалываем. Справа от $8$ дробь положительна. Через $1$, $3$ и $8$ знак меняется, а через $4$ — нет: множитель $t-4$ стоит и в числителе, и в знаменателе, и на знак действует как квадрат:

Получаем $t⩽1$, или $3⩽t<4$, или $4<t<8$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽1,\\ 3⩽t<4,\\ 4<t<8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа в виде степеней двойки: $1=2^0$, $3=2^{{\log }_{2}3}$, $4=2^2$, $8=2^3$:

$$[\begin{array}{l}{2}^x⩽2^0,\\ 2^{{\log }_{2}3}⩽2^x<2^2,\\ 2^2<2^x<2^3.\end{array}$$

Основание $2>1$, функция $y=2^x$ возрастает, поэтому неравенства между степенями равносильны таким же неравенствам между показателями:

$$[\begin{array}{l}x⩽0,\\ {\log }_{2}3⩽x<2,\\ 2<x<3.\end{array}$$

Так как $2<3<4$, то $1<{\log }_{2}3<2$, и промежутки расположены именно в таком порядке. Точки $x=2$ и $x=3$ выколоты, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $(-\infty ;0]\cup [{\log }_{2}3;2)\cup (2;3)$.