ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}8\cdot 2^x>0,\\ {\log }_3\left(8\cdot 2^x\right)\ne 0.\end{array}$$

Первое условие выполнено при всех $x$: произведение положительных чисел положительно.

Преобразуем аргумент по свойству $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$: $8\cdot 2^x=2^3\cdot 2^x=2^{x+3}$. Логарифм равен нулю, только когда аргумент равен единице, поэтому второе условие равносильно

$$2^{x+3}\ne 1=2^0⟺x+3\ne 0⟺x\ne -3.$$

Разложим числитель на множители. По теореме Виета корни трёхчлена $x^2+3x-4$ — числа $-4$ и $1$ (их сумма $-3$, произведение $-4$):

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$$

Преобразуем знаменатель по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$:

$${\log }_3\left(8\cdot 2^x\right)={\log }_3{2}^{x+3}=(x+3){\log }_{3}2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x+4)(x-1)}{(x+3){\log }_{3}2}⩾0.$$

Число ${\log }_{3}2$ положительно: основание $3>1$ и аргумент $2>1$. Умножим обе части на положительное число ${\log }_{3}2$ — знак неравенства не изменится:

$$\frac{(x+4)(x-1)}{x+3}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=-4$ и $x=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=-3$ выкалываем. Справа от $1$ все множители положительны, через каждую точку знак меняется:

Получаем $-4⩽x<-3$ или $x⩾1$. Точка $x=-3$ выколота, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $[-4;-3)\cup [1;+\infty )$.