ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим числитель на множители способом группировки:

$$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)\left(x^2-1\right)=(x-1{)}^2(x+1).$$

На последнем шаге мы применили формулу разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

Преобразуем знаменатель. По свойству степени $4^{x^2}={\left(2^2\right)}^{x^2}={\left(2^{x^2}\right)}^2$, а $64=8^2$ и $16\cdot 2^{x^2}=2\cdot 2^{x^2}\cdot 8$. По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$4^{x^2}-16\cdot 2^{x^2}+64={\left(2^{x^2}\right)}^2-2\cdot 2^{x^2}\cdot 8+8^2={\left(2^{x^2}-8\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x-1{)}^2(x+1)}{{\left(2^{x^2}-2^3\right)}^2}⩽0.$$

Найдём ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $2^{x^2}\ne 2^3$. Функция $y=2^u$ возрастает, поэтому $x^2\ne 3$, откуда $x\ne \pm \sqrt{3}$.

Применим метод рационализации. Основание $2>1$, функция $y=2^u$ возрастает, поэтому разность $2^{x^2}-2^3$ имеет тот же знак, что и $x^2-3$, и обращается в нуль там же. Тогда и квадраты этих выражений одновременно положительны или равны нулю:

$$\frac{(x-1{)}^2(x+1)}{{\left(x^2-3\right)}^2}⩽0.$$

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $x^2-3=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$, поэтому

$$\frac{(x-1{)}^2(x+1)}{{\left(x-\sqrt{3}\right)}^2{\left(x+\sqrt{3}\right)}^2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=1$ и $x=-1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=\pm \sqrt{3}$ выкалываем. Справа от $\sqrt{3}$ дробь положительна. Знак меняется только при переходе через $-1$: остальные множители стоят в чётной степени:

Дробь неположительна при $x<-\sqrt{3}$, при $-\sqrt{3}<x⩽-1$ и в точке $x=1$, где числитель равен нулю. Точки $\pm \sqrt{3}$ выколоты, так что ОДЗ учтена:

$$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)\cup \left(-\sqrt{3};-1\right]\cup \{1\}.$$

Ответ: $\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)\cup \left(-\sqrt{3};-1\right]\cup \{1\}$.