ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 11$ и $x\ne 2$.

Перенесём дробь из правой части влево:

$$\frac{7-x}{x-11}-\frac{1}{2-x}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $(x-11)(2-x)$:

$$\frac{(7-x)(2-x)-(x-11)}{(x-11)(2-x)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(7-x)(2-x)-(x-11)=14-7x-2x+x^2-x+11=x^2-10x+25.$$

По формуле квадрата разности $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$, поэтому

$$\frac{(x-5{)}^2}{(x-11)(2-x)}⩽0.$$

Чтобы все множители имели вид $x-a$, вынесем минус из множителя $2-x=-(x-2)$ и умножим обе части на $-1$ — знак неравенства поменяется на противоположный:

$$\frac{(x-5{)}^2}{(x-11)(x-2)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=5$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=2$ и $x=11$ выкалываем. Справа от $11$ все множители положительны. При переходе через $11$ и $2$ знак меняется, а через $5$ — нет, так как $(x-5{)}^2$ — квадрат:

Дробь неотрицательна при $x<2$, при $x>11$ и в точке $x=5$, где она равна нулю. Точки $2$ и $11$ выколоты, так что ОДЗ учтена:

Ответ: $(-\infty ;2)\cup \{5\}\cup (11;+\infty )$.