ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x\ne 0$ — в показателе стоит дробь $\frac{1}{x}$.

По свойству степени ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ имеем

$$81^{\frac{1}{x}-1}={\left(9^2\right)}^{\frac{1}{x}-1}={\left(9^{\frac{1}{x}-1}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=9^{\frac{1}{x}-1}$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. Неравенство принимает вид

$$t^2-t-6⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-t-6$ — числа $-2$ и $3$ (их сумма $1$, произведение $-6$). Значит,

$$(t+2)(t-3)⩾0.$$

Неравенство нестрогое, точки закрашиваем. Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t⩽-2,\\ t⩾3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $9^{\frac{1}{x}-1}⩽-2$ решений не имеет: слева положительное число. Остаётся

$$9^{\frac{1}{x}-1}⩾3.$$

Так как $3=\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}$, получаем

$$9^{\frac{1}{x}-1}⩾9^{\frac{1}{2}}.$$

Основание $9>1$, функция $y=9^u$ возрастает, поэтому неравенство равносильно неравенству между показателями:

$$\frac{1}{x}-1⩾\frac{1}{2}.$$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю $2x$:

$$\frac{1}{x}-\frac{3}{2}⩾0⟺\frac{2-3x}{2x}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=\frac{2}{3}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=0$ выкалываем. При больших $x$ числитель $2-3x$ отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому справа от $\frac{2}{3}$ дробь отрицательна; через каждую точку знак меняется:

Получаем $0<x⩽\frac{2}{3}$. Точка $x=0$ уже выколота, так что ОДЗ учтена.

Ответ: $\left(0;\frac{2}{3}\right]$.