ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x\ne -3$ — знаменатели показателей не равны нулю.

Выразим все показатели через одну дробь $y=\frac{x}{x+3}$:

$$\frac{2x}{x+3}=2\cdot \frac{x}{x+3}=2y,\frac{2x+3}{x+3}=\frac{x+(x+3)}{x+3}=\frac{x}{x+3}+1=y+1.$$

Неравенство принимает вид

$$5^{2y}-5^{y+1}⩾5^y-5.$$

По свойствам степени $5^{2y}={\left(5^y\right)}^2$ и $5^{y+1}=5\cdot 5^y$. Сделаем замену $u=5^y$, где $u>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения:

$$u^2-5u⩾u-5.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$u^2-6u+5⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $u^2-6u+5$ — числа $1$ и $5$ (их сумма $6$, произведение $5$). Значит,

$$(u-1)(u-5)⩾0.$$

Неравенство нестрогое, точки закрашиваем. Старший коэффициент положителен, поэтому произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:

С учётом $u>0$ получаем

$$[\begin{array}{l}0<u⩽1,\\ u⩾5.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $1=5^0$ и $5=5^1$:

$$[\begin{array}{l}{5}^y⩽5^0,\\ 5^y⩾5^1.\end{array}$$

Основание $5>1$, поэтому показательная функция $5^t$ возрастает, и неравенства между степенями равносильны таким же неравенствам между показателями:

$$[\begin{array}{l}y⩽0,\\ y⩾1\end{array}⟺[\begin{array}{l}\frac{x}{x+3}⩽0,\\ \frac{x}{x+3}⩾1.\end{array}$$

Решим первое неравенство методом интервалов. Нуль числителя $x=0$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=-3$ выкалываем. Справа от $0$ дробь положительна, через каждую точку знак меняется:

Получаем $x\in (-3;0]$.

Решим второе неравенство. Перенесём $1$ влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x+3}-1⩾0⟺\frac{x-(x+3)}{x+3}⩾0⟺\frac{-3}{x+3}⩾0.$$

Числитель $-3$ отрицателен и в нуль не обращается, поэтому дробь неотрицательна только при отрицательном знаменателе:

Получаем $x+3<0$, то есть $x<-3$.

Объединим решения двух неравенств совокупности: $x\in (-\infty ;-3)\cup (-3;0]$. Все эти значения удовлетворяют ОДЗ $x\ne -3$.

Ответ: $(-\infty ;-3)\cup (-3;0]$.