ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Знаменатели не должны обращаться в нуль:

$$\{\begin{array}{l}x+4\ne 0,\\ x+2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ne -4,\\ x\ne -2.\end{array}$$

Решим неравенство на ОДЗ. Числитель первой дроби разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=x+2$, $b=2$:

$$(x+2{)}^2-4=(x+2{)}^2-2^2=(x+2-2)(x+2+2)=x(x+4).$$

На ОДЗ $x+4\ne 0$, поэтому дробь можно сократить:

$$\frac{x(x+4)}{x+4}=x.$$

Сокращение законно только при $x\ne -4$, поэтому это ограничение не теряем и учтём в конце. Неравенство принимает вид

$$x+\frac{25}{x+2}⩽8.$$

Перенесём $8$ влево и приведём к общему знаменателю $x+2$:

$$\frac{x(x+2)+25-8(x+2)}{x+2}⩽0,$$

$$\frac{x^2+2x+25-8x-16}{x+2}⩽0,$$

$$\frac{x^2-6x+9}{x+2}⩽0.$$

По формуле квадрата разности $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$:

$$\frac{(x-3{)}^2}{x+2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=-2$ выкалываем. Справа от $3$ дробь положительна; через $3$ знак не меняется, так как $(x-3{)}^2$ — квадрат; через $-2$ меняется:

Решения: $x<-2$ или $x=3$.

Пересечём с ОДЗ: из промежутка $x<-2$ нужно выколоть точку $x=-4$, а точка $x=3$ в ОДЗ входит:

Ответ: $(-\infty ;-4)\cup (-4;-2)\cup \{3\}$.