ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатель — не равным нулю:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-8>0,\\ 2^{x+1}>0,\\ {\log }_2\left(4^x-8\right)-{\log }_2\left(2^{x+1}\right)\ne 0.\end{array}$$

Второе условие выполнено при всех $x$: показательная функция принимает только положительные значения.

Решим первое неравенство. По свойству степени ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ имеем $4^x={\left(2^2\right)}^x=2^{2x}$, а $8=2^3$:

$$2^{2x}>2^3.$$

Основание $2>1$, функция $y=2^u$ возрастает, поэтому $2x>3$, то есть $x>\frac{3}{2}$. Условие на знаменатель учтём по ходу решения.

Преобразуем числитель по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$25x^2-120x+144=(5x{)}^2-2\cdot 5x\cdot 12+12^2=(5x-12{)}^2.$$

Займёмся знаменателем. Функция $y={\log }_{2}t$ возрастает, так как $2>1$. Поэтому на ОДЗ ${\log }_{2}f-{\log }_{2}g>0$ ровно тогда, когда $f>g$, и равенство нулю бывает ровно при $f=g$. Значит, разность логарифмов имеет тот же знак, что и разность аргументов (метод рационализации), и на ОДЗ неравенство равносильно

$$\frac{(5x-12{)}^2}{4^x-8-2^{x+1}}⩽0.$$

По свойствам степени $4^x={\left(2^x\right)}^2$ и $2^{x+1}=2\cdot 2^x$. Сделаем замену $t=2^x$:

$$4^x-2^{x+1}-8=t^2-2t-8.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-2t-8$ — числа $-2$ и $4$ (их сумма $2$, произведение $-8$). Значит,

$$t^2-2t-8=(t+2)(t-4)=\left(2^x+2\right)\left(2^x-4\right).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(5x-12{)}^2}{\left(2^x+2\right)\left(2^x-4\right)}⩽0.$$

Множитель $2^x+2$ положителен при всех $x$. Умножим обе части на него — знак неравенства не изменится:

$$\frac{(5x-12{)}^2}{2^x-4}⩽0.$$

Ещё раз применим рационализацию: $4=2^2$, функция $y=2^x$ возрастает, поэтому разность $2^x-2^2$ имеет тот же знак, что и $x-2$, и обращается в нуль там же:

$$\frac{(5x-12{)}^2}{x-2}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=\frac{12}{5}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=2$ выкалываем — это и есть условие, что знаменатель исходной дроби не равен нулю. Так как $\frac{12}{5}=2,4>2$, точка $2$ левее. Справа от $\frac{12}{5}$ дробь положительна; через $\frac{12}{5}$ знак не меняется (квадрат), через $2$ — меняется:

Получаем $x<2$ или $x=\frac{12}{5}$.

Пересечём с ОДЗ $x>\frac{3}{2}$. Промежуток $x<2$ превращается в $\left(\frac{3}{2};2\right)$, а точка $\frac{12}{5}>\frac{3}{2}$ остаётся:

$$x\in \left(\frac{3}{2};2\right)\cup \left\{\frac{12}{5}\right\}.$$

Ответ: $\left(\frac{3}{2};2\right)\cup \left\{\frac{12}{5}\right\}$.