ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. У каждого логарифма основание должно быть положительным и отличным от единицы, а аргумент — положительным:

$$\{\begin{array}{l}(x^2-6x+10{)}^2>0,\\ (x^2-6x+10{)}^2\ne 1,\\ x^2-6x+10>0,\\ x^2-6x+10\ne 1,\\ 5x^2+3>0,\\ 4x^2+7x+3>0.\end{array}$$

Выделим полный квадрат: $x^2-6x+10=(x^2-6x+9)+1=(x-3{)}^2+1⩾1$. Значит, $x^2-6x+10>0$ при всех $x$, и его квадрат тоже положителен.

Равенство $x^2-6x+10=1$ означает $(x-3{)}^2=0$, то есть $x=3$. Положительное число равно $1$ тогда и только тогда, когда его квадрат равен $1$, поэтому оба условия «не равно единице» дают одно ограничение $x\ne 3$.

Условие $5x^2+3>0$ выполнено при всех $x$: сумма неотрицательного $5x^2$ и положительного $3$.

Решим неравенство $4x^2+7x+3>0$. Дискриминант $D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=49-48=1$, корни

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 1}{8},x_1=-1,x_2=-\frac{3}{4}.$$

Тогда $4x^2+7x+3=(x+1)(4x+3)$. Старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен больше нуля вне промежутка между корнями:

Получаем $x<-1$ или $x>-\frac{3}{4}$. Учитывая $x\ne 3$, записываем ОДЗ:

$$x\in (-\infty ;-1)\cup \left(-\frac{3}{4};3\right)\cup (3;+\infty ).$$

Преобразуем левую часть. По свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$) получаем ${\log }_{a^2}b=\frac{1}{2}{\log }_{a}b$. Здесь важно, что само основание $a=x^2-6x+10$ положительно: иначе пришлось бы писать ${\log }_{|a|}b$. Поэтому на ОДЗ

$$2{\log }_{(x^2-6x+10{)}^2}(5x^2+3)=2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{x^2-6x+10}(5x^2+3)={\log }_{x^2-6x+10}(5x^2+3).$$

Неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

$${\log }_{x^2-6x+10}(5x^2+3)⩽{\log }_{x^2-6x+10}(4x^2+7x+3).$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(f-g)$. Перенесём всё влево и заменим разность логарифмов этим произведением:

$$(x^2-6x+10-1)(5x^2+3-(4x^2+7x+3))⩽0,$$

$$(x-3{)}^2\cdot \left(x^2-7x\right)⩽0,$$

$$(x-3{)}^2\cdot x\cdot (x-7)⩽0.$$

Заметим, что множитель $(x-3{)}^2=a-1$ на ОДЗ положителен — основание больше единицы, логарифм возрастает, и неравенство между логарифмами равносильно такому же неравенству между аргументами. Рационализация даёт ровно этот результат.

Решим неравенство методом интервалов. Нули левой части: $0$, $3$, $7$. Неравенство нестрогое, поэтому все точки закрашиваем. Справа от $7$ все множители положительны, при переходе через $7$ и $0$ знак меняется, а через $3$ — нет, так как множитель $(x-3{)}^2$ стоит в чётной степени:

Получаем $x\in [0;7]$.

Пересечём с ОДЗ. Так как $0>-\frac{3}{4}$, отрезок $[0;7]$ целиком лежит в промежутке $\left(-\frac{3}{4};+\infty \right)$, и из него нужно исключить только точку $x=3$:

Ответ: $[0;3)\cup (3;7]$.